... Gackt: Na okręgu losowo wybrano kolejno punkty P1, P2, P3 i P4. Obliczy¢ prawdopodobieństwo, że cięciwa P1P2 przetnie cięciwe P3P4 wewnątrz okręgu.(Pstwo geometryczne) Ma ktoś pomysł?

Adamm: narysuj sobie parę przypadków

Adamm: prawdopodobieństwo wygląda na 1/2

Gackt: Już tyle nad tym siedzę... W ogóle nie wiem jak zdefiniować omege ; powiedzmy P1,P2∊ [0,2πr]. Wylosowany punkt daje mi konkretną długość. W ogólnym przypadku musi zajść suma 3 warunków 1 z nich to 0<x<P1 P1<y<P2 tyle że potem wstawiając do wzoru x i y sie nie poskraca.

Adamm: właściwie to 2/3 brzmi poprawniej

Gackt: No dobrze ale jak do tego doszedłeś? czym jest dla Ciebie omega?

Adamm: Jako przestrzeń zdarzeń przyjąłem kostkę [0, 1]⁴ z tej kostki wybieramy 4 punkty a, b, c, d mamy 4 możliwości z dokładnością do zamiany miejscami a i b lub c i d a<b<c<d, c<d<a<b, a<c<d<b, c<a<b<d

	1
każda z prawdopodobieństwem
	4!

	16		2
czyli nasze prawdopodobieństwo to		=
	4!		3

Adamm: właściwie to jeden punkt (a, b, c, d)

Adamm: ale to chyba nie jest dobrze w zadaniu wybieramy punkty po kolei tutaj wybieramy wszystkie na raz

Pytający: Adamm, byłoby dobrze, ale mamy 6 możliwości z dokładnością do zamiany miejscami a i b lub c i d (przecież 4!=2!*2!*6): a<b<c<d, c<d<a<b, a<c<d<b, c<a<b<d, a<c<b<d, c<a<d<b Cięciwy ab i cd przecinają się właśnie w podkreślonych przypadkach, stąd szukane

	2*2!*2!		1
prawdopodobieństwo to		=		.
	4!		3

Inaczej: rozważmy kolejności punktów na okręgu (np. zgodnie z ruchem wskazówek zegara) począwszy od P1 (mamy 3! różnych konfiguracji). Każda kolejność jest równie prawdopodobna, natomiast wspomniane cięciwy przecinają się w przypadkach: P1, P3, P2 i P4 P1, P4, P2 i P3

	2		1
Stąd szukane prawdopodobieństwo to		=		.
	3!		3

Inaczej:

	1
∫01(α(1−α)*2! dα)=		// P1 w ustalonej pozycji, P2 α*(długość okręgu) "dalej", wtedy
	3

P3 i P4 muszą trafić w dowolnej kolejności (2!) odpowiednio między P1 i P2 (prawdopodobieństwo α) oraz między P2 i P1 (prawdopodobieństwo (1−α))

Adamm: w pewnym momencie ustaliłem że będę liczyć zdarzenie odwrotne, ale koniec końców zapomniałem że liczę właśnie zdarzenie odwrotne

Adamm: liczę −prawdopodobieństwo− zdarzenia przeciwnego*