Całka krzywoliniowa nieskierowana Rico: Cześć, mam obliczyć masę łuku okręgu x₁=acost x₂=asint a>0, 0≤t≤^π₂ którego gęstość liniowa wynosi ρ(x₁,x₂)=Cx₁x₂, C>0 Mógłby ktoś pomóc?

Adamm: podstaw do wzoru

Rico: m=∫π20 acost asin t √a2sin2t + a2cos2t dr = ∫π20 a2costsint a dt = ∫π20 a3 costsint dt = a3 ∫π20 cost sint dt korzystam z tego, że cost sint = 12 sin(2t) a3∫π20 12 sin(2t) = a3 [−14 cos(2t)]π20 = a3[−14 cos (π2•2) + 14 • 1] = a3 • 12 Czy dobrze to zrobiłem?

Adamm: na początku napisałeś dr, literówka zapomniałeś o stałej C, drobiazg poza tym jest ok

Rico: Dzięki, faktycznie literówka z automatu a mógłby ktoś podpowiedzieć odnośnie liczenia miary łuku elipsy danej x₁=acost, x₂=bsint, gdzie a,b>0 t należy do takiego samego zakresu, czyli [0, ^π₂] a gęstość liniowa wynosi ρ(x₁,x₂) =Cx₁x₂, gdzie C>0

jc: Funkcja asin jest określona na przedziale [−1,1]. π/2>1!

Rico: Przepraszam, ale nie rozumiem tak mam w treści zadania i podstawiając takie granicę całkowania próbowałem liczyć, ale całka kompletnie mi nie wychodzi

jc: Po prostu napisałeś asin i acos, a są to inne oznaczenia funkcji arcsin i arccos. To samo o 11:30. Tak trudno postawić spację? Dopiero z drugiego wpisu wynika, że miałeś na myśli inne funkcje. Cab ∫₀^π/2 sin t cos t √a²sin²t + b²cos²t dt a≠b

	1−cos t
sin2t=
	2

	1+cos t
cos2t=
	2

1
	∫sin 2t √(a2+b2) + (b2−a2) cos 2t dt
2√2

	−1
=		((a2+b2) + (b2−a2) cos 2t)3/2
	6√2(b2−a2)

czy jakoś podobnie

jc:

	Cab(a+b)
wynik =		, ale lepiej sprawdź rachunki.
	6

Wynik dla a=b nie zgadza się z Twoim wynikiem. U mnie jest 1/3, u Ciebie 1/2. Poszukaj usterki.

jc: Ja się pomyliłem.

	Cab
wynik =		[(2a2)3/2 − (2b2)3\2]
	6√2(a2−b2)

	Cab		a3−b3		Cab		a2+ab+b2
=				=
	3		a2−b2		3		a+b

Teraz jest już dobrze

Rico: Jeśli chodzi o elipsę to próbowałem to robić tak: ∫π20 a cost bsint √a2sin2t + b2cos2t dt = ∫π20 ab costsint √a2sin2t + b2cos2t dt = ∫π20 ab sintcost (asint + bcost) dt = ab ∫π20 sintcost (asint +bcost) dt = ab ∫π20 (acostsin2t +bcos2tsint) dt = a2b ∫π20 costsin2t dt + ab2 ∫π20 cos2tsint dt = liczę pierwszą całkę, czyli ∫π20 costsin2t dt no i tu podstawiam u=sint i dt = 1cost du = ∫π20 u2 du = ab2 sin3(t)3 druga całka: ∫π20 cos2tsint dt = podstawiam u = cost, dt = −1sint du − ∫π20 u2 du = −cos3t3 ostatecznie: a2b [sin3t3]π20 − ab2[−cos3t3]π20 = no i dalej nie wiem co robić generalnie nie wiem czy ten pomysł był dobry jakby mógł ktoś doradzić byłbym wdzięczny

piotr: na jakiej podstawie opuściłeś pierwiastek?

Jerzy: Na prostej zasadzie. Dla studenta √x² + y² = x + y ! GRATULACJE !

Rico: Mój błąd Policzyłem jeszcze raz: podstawiłem u=a2sin2t + b2cos2t i dr=12a2costsint − 2b2costsint du ∫π20 −ab√u2(b2−a2) du = −ab2(b2−a2) ∫π20 √u du = −ab2(b2−a2) • 2u233 = −2ab(a2sin2t + b2cos2t)323(2b2−2a2

Rico: Wyszło: ^{−ab(a2sin2t + b2cos2t)3/2}_3(b²−a²)

Rico: Nie wiem tylko czemu koledze wyżej wyszło inaczej, chyba że coś pomyliłem

Jerzy: Po podstawieniu: u = a²sin²t + b²cos²t

	ab
Dostajesz całkę:		∫√udu
	a2−b2

Jerzy:

	2ab
czyli: =		(a2sint + b2cos2t)3/2
	3(a2 − b2

Jerzy: w nawiasie: a²sin²t + b²cos²t oczywiście.

Jerzy:

	ab
Nie tak ... =		∫√udu ....
	2(a2 − b2)

	ab
=		(a2sin2t + b2cos2t)3/2
	3(a2 − b2)

Jerzy: Reasumując masz dobrze ( po wyłaczeniu minusa przed nawias dostajesz to samo )

jc: Rico, masz ten samo wynik, co ja. Twój rachunek jest ładniejszy. Teraz wystarczy policzyć różnicę. Tylko nie pisz więcej takich bzdur, jak o 10:10, bo żadne całki Ci nie pomogą.

Rico: −^ab_2b²−2a² [^{2(a2•1+b2•0)3/2}₃−^{2(a2•0+b2•1)3/2}₃ no i wyszlo mi po przeliczeniu −^{ab(2a3−2b3)}_{3(2b²−2a²)} mógłby ktoś to zweryfikować? I przepraszam jeszcze raz za tamten błąd

jc: Porównaj z moim wczorajszym wpisem z 13:12. Pisząc ułamki używaj dużej litery U. Teraz nic nie da się odczytać (właściwie zapis z małym u powinien być usunięty z edytora).