Ice Tea: Dlaczego 0⁰ nie określa na to żadnej liczby? Jakie jest tego logiczne wytłumaczenie?

jc: Przyjmuje się, że 0⁰=0. Umowa z niczym się nie kłóci, a jest wygodna. Inaczej trzeba by pisać np. tak:

	xn
ex = ∑n=0∞		dla x≠0, oraz e0=1.
	n!

itd. Byłoby to bardzo niewygodne.

	n k
Podobnie ze wzorem (a+b)n = ∑k		akbn−k.

Trzeba by zaznaczać, że wzór traci sens dla a =0 lub b = 0.

Basia: mniej więcej dlatego, że można znaleźć różne ciągi a_n,b_n oba zbieżne do 0 a granica a_n^b_n będzie inna dla jednej takiej pary, inna dla drugiej, a jeszcze inna dla trzeciej

	1
na przykład limn→+∞(		)1/n = 1
	n

	1
a limn→+∞ (		)1/n = 0
	nn

Adamm: 0⁰=1

Adamm: @jc

jc: dziękuję Adammie, oczywiście miało być 0⁰=1.

jc: Równość 0⁰=1 nie ma nic wspólnego z granicami. Czy coś dziwnego, że pewne twierdzenia o granicach wymagają jakiś założeń?

Basia: a nie wiem; przeczytałam co chciałam; myślałam rzecz jasna o symbolu nieoznaczonym

jc: Nie raz widziałem takie skojarzenia na Forum. Cóż, ja symbole nieoznaczone poznałem dopiero niedawno, więc takich skojarzeń nie mam. Właściwie nie bardzo wiem, po co one są. Po to, aby przypominać o założeniach? Więcej z tego szkody, niż pożytku. Studenci np. kończą rachunek pisząc ∞−∞.

Basia: no chyba po to są, żeby student wiedział, że ten rachunek jest do niczego

PW: Ice Tea, 0⁰ nie określa żadnej liczby, bo nie ma definicji. Nie ma definicji, bo nie ma takiej potrzeby.

	57
1=		=57−7=50=(z definicji)=1 wynik zgodny z tym czego oczekujemy. Zasadne było
	57

przyjęcie definicji x⁰=1. dla wszystkich x≠0. Poprawność dzielenia sprawdza się mnożeniem przez mianownik: 5⁷=5^7.5⁰ − zdanie prawdziwe. Gdyby chciał rozumowanie z przykładu rozciągnąć na zero i przyjąć 0⁰=1, to sprawdzenie poprzez mnożenie wyglądałoby tak" 0⁰=0^0.1 − niby prawda, ale brak potrzeby definiowania wyniku dzielenia

	07
	07

(operacja jest "nielegalna"− dzielenie przez zero) spowodował, że zrezygnowano z definiowania 0⁰. Podsumowanie: Patrz pierwsze zdanie.

jc: PW, jednak wygodnie jest przyjąć, że 0⁰=1. Chociażby ze względu na wzory:

	xn
ex = ∑n=0∞
	n!

	n k
(a+b)n = ∑k=0n		akbn−k

Gdyby nie ta umowa, trzeba wy wydzielać krańcowe wyrazy lub zastrzegać, że w przypadku x=0, a=b lub b=0 obowiązuję inne wzory. W niczym to nie przeszkadza, a bardzo ułatwia.

jc: Dodam, że Python, gnuplot, javascript bez oporów liczą 0⁰ podając jako wynik liczbe 1.

Lech: Uzasadnienie ze: 0⁰ =1

xk
	= xk−k = x0 =1 , dla x≠ 0
xk

	0k
Czyli : 00 = 0k − k =		= 1
	0k

jc: Drugi wzór z pierwszego nie wynika (przecież x≠0).

Lech: Pierwszy wzor jest definicja , drugi tylko pomocnym uzasadnieniem ?

Ice Tea: Dziękuję