Diagonalizowalnosc macierzy Julcia: Jeśli mam macierz 4 2 −1 −2 0 1 2 2 1 to jak sprawdzic czy jest diagonalizowalna?

jc: 1. Znajdź wielomian charakterystyczny. 2. Sprawdź czy ma pierwiastki wielokrotne (jeśli nie ma, to można zdiagonalizować, choć mogą być potrzebne liczby zespolone) 3. Jeśli ma to, to je usuń i podstaw macierz. Jeśli wyjdzie zero, to można diagonalizować, w przeciwnym wypadku nie można.

jc: f(x)=−(x−1)(x−2)² g(x)=(x−1)(x−2) Sprawdź, czy g(macierz)=0. Jeśli tak, to można zdiagonalizować, jeśli nie, to nie można.

Julcia: jesli rozwazam nad cialem R i jest tylko 1 wartosc wlasna to z automatu pisze ze nie jest diagonalizowalna?

Julcia: i o co chodzi z usuwaniem tych pierwiastkow wielokrotnych?

jc: Wielomian f=(x−1)(x−2)² ma pierwiastek podwójny. Wielomian g=(x−1)(x−2) ma te same pierwiastki, co wielomian f, ale nie ma pierwiastków wielokrotnych. Macierz M= 1 0 0 1 ma wielomian charakterystyczny = (x−1)² Wielomian h(x)=x−1 nie ma już pierwiastków wielokrotnych. h(M)=0. M można zdiagonalizować (właściwie już taka jest). K= 1 1 0 1 Wielomian chakterystyczny = (x−1)². h(x)=x−1, ale h(K)= 0 1 0 0 ≠ 0 K nie można zdiagonalizować.

Julcia: a jeszcze jakbys mogl to wytlumaczyc bo nie za bardzo zapis rozumiem. "Sprawdź, czy g(macierz)=0" na tym przykladzie z "K" możesz

jc: Trochę ciekawszy przykład. g=x²−3x+5 g(K)=K² − 3K + 5I

	1 2 3 4
np. K=

	1 2 3 4		1 2 3 4		1 2 3 4		1 0 0 1
g(		)=		2 − 3		+5		= ...

Po prostu za x podstawiasz macierz. I oznacza macierz jednostkową.

Benny: Czy to ma związek z twierdzeniem Cayleya−Hamiltona i wielomianem minimalnym?

jc: Tak, z tw. C−H wynika, że wielomian minimalny dzieli wielomian charakterystyczny. Mamy tw. macierz jest diagonalizowalna ⇔ wielomian minimalny nie posiada pierwiastków wielokrotnych.

jc: Implikacja w prawo jest oczywista. W lewo musimy trochę popracować.

Julcia: Aaa to pierwszy raz widze to twierdzenie, czyli w skrócie podstawiam do wielomianu minimalnego macierz którą rozważam czy jest diagonalizowalna i jesli nie wyjdzie macierz Zerowa to znaczy że jest, jesli nie wyjdzie zerowa to nie jest diagonalizowalna?

jc: Julcia, trochę inaczej. M jest z definicji wielomianem pierwiastkiem wielomianu minimalnego. Patrzymy, czy wielomian minimalny ma pierwiastki wielokrotne. Łatwiej jednak postępować inaczej. Wielomian minimalny dzieli wielomian charakterystyczny. Można inaczej. Wystarczy wziąć wielomian, który ma te same pierwiastki, co wielomian charakterystyczny, ale nie ma pierwiastków wielokrotnych i sprawdzić, czy M jest pierwiastkiem takiego wielomianu. Stosuj schemat z mojego pierwszego wpisu. Jak z f uzyskać g, takie, że g|f i g nie ma pierwiastków wielokrotnych? Np. tak h=nwd(f,f'), g=f/h. Jak chcesz sobie o tym poczytać, poszukaj książki Sawyera Droga do matematyki współczesnej. Łatwiejszej książki nie znajdziesz.

Julcia: Dzięki za pomoc