zadanie optymalizacyjne yung kiki: Przez punkt P (1,9) poprowadzono prostą o współczynniku kierunkowym ujemnym tak, że suma długości odcinków, które ta proste odcięła na osiach układu współrzędnych, jest najmniejszą. Wyznacz równanie tej prostej.

yung kiki: prosiłbym o bardzo szczegółowe wyjaśnienie

jc: To ciekawe zadanie. Prosta przechodząca przez punkty (p,0) i (0,q) opisana jest równaniem: x/p + y/q=1. Wiemy, że na tej prostej leży punkt (a,b). Szukamy więc takich p,q, spełniających równanie a/p+b/q = 1, dla których suma p+q jest najmniejsza. Próbuj dalej sam. −−− Przy okazji, zadanie zapewne pochodzi z bardzo starej książki. Dziś nikt tak dziwnie nie pisze, mam na myśli P(1,9). Już lepiej wyglądałby zapis (P,1,9) lub współrzędna(P)=(1,9), choć ja napisałbym po prostu P=(1,9).

Aleks: Prosta y=ax+b przechodzi przez punkt P, wiec możesz uzależnić b od współczynnika kierunkowego

jc: u=(√a/p, √b/q) v =(√p,√q) (uv)² ≤ u² v², równość tylko dla wektorów równoległych. (√a+√b)² ≤ (a/p + b/q)(p+q) Czyli minimalna suma p+q równa jest (√a+√b)² = (1+3)²=16.

Adamm: jc, przeciętny licealista nie zna nierówności Schwarza, więc jeśli podajesz mu rozwiązanie z tą nierównością, to może warto przynajmniej wspomnieć nazwę

jc: No dobra, zostało jeszcze wyznaczenie p,q. √p=k√a/p √q=k√b/q p=k√a q=k√b 1 =a/p+b/q= (√a+√b)/k k=4 p=4, q=4/3 Równanie prostej: x+ y/3=4

jc: Adamm, szkoda, bo to ładna i ważna nierówność.

Adamm: I dosyć prosto się ją dowodzi

yung kiki: czuje się delikatnie mówiąc trochę głupio, bo nie rozumiem wykonania tego zadania z wykorzystaniem nierówności Schwarza, ma ktoś inna propozycję?

yung kiki: y=ax+b 9=a+b b=9−a, czyli z tego wynika, że punkt B ma współrzędne (0,9−a) i konieczne jest założenie a∊(−9,0) y=ax+9−a

	a−9
a=
	a

	a−9		−a2+10a−9
f(a)=9−a+		=
	a		a

	−a2+9
f'(a)=
	a2

f"(a)=0, gdy a²−9=0 a=−3 v a=3, ale a=3 nie spełnia założenia y=−3x+9+3 y=−3x+12

jc: Jak chcesz tak liczyć, to możesz od razu napisać y = a(x−1)+9 Punkty przecięcia z osiami: (0,9−a), (1−9/a,0). f(a) = 10 − a − 9/a f'(a) = −1 + 9/a², f'(a)=0 ⇔ a=±3

jc: Lepiej byłoby tak dokończyć. a<0. f(a)=10−3(a/3+3/a)≥10+6=16, przy czym minimum mamy dla a=3. (bez żadnych pochodnych)