najwieksza wartość funckji matlamp: Wyznacz największą wartość funkcji f(x) = √2x + 1 − x w jej dziedzinie.

	1
Wyznaczyłem dziedzinę: x ≥ −
	2

Zapisałem: √2x + 1 − x = y ⇒ √2x + 1 = y + x I teraz mam pytanie: czy moge to równanie podnieść do kwadratu? wtedy wychodzi wynik dobry bo orzymujemy równanie kwadratowe z parametrem y, ale nie wiem czy taka metoda jest w tym przypadku poprawna.

PW: √2x+1=y+x Lewa strona jest z definicji nieujemna, zatem rozwiązanie istnieje tylko dla takich y, że y≥−x − dla takich y można obie strony podnieść do kwadratu uzyskując równoważne równanie 2x+1=(y+x)², x≥−0,5, y≥−x

Basia: możesz dostać tzw. pierwiastki obce, bo nie ma gwarancji, że y+x jest nieujemne wtedy z równania sprzecznego robi się równanie, które ma rozwiązanie np. √x=−2 x = 4 2x+1 = y²+2xy+x² x²+(2y−2)x + (y²−1)=0 sprawdzasz dla jakich y równanie ma rozwiązanie w przedziale <−1/2; +∞) możesz Δ=4y²−8y+4−4y²+4 = 8−8y 8−8y≥0 y≤1 dla y=1 dostajesz x=0 czyli jest dobrze na wszelki wypadek możesz sprawdzić inną metodą

Basia: zgadza się; sprawdziłam inaczej; największą wartością jest y=1

jc: Nierówność pomiędzy średnimi.

	(2x+1)+1
√2x+1 ≤		= x+ 1
	2

√2x+1 − x ≤ 1 Równość zachodzi tylko w przypadku 2x+1=1, czyli dla x=0.

PW: jc jak często się zdarza tym razem też zaskakuje wyobraźnią. Lubię takie rozwiązania. (Powiedział matlamp, który interesuje się zadaniami olimpijskimi).

piotr: podstawienie: √2x+1 = t ⇒ g(t) = −t²/2 + t + 1/2