Ice Tea: Liczby x, y są liczbami całkowitymi. Wyrażenie xy+1 jest podzielne przez 24. Czy wyrażenie x+y zawsze jest podzielne przez 24?

xyz-a: x,y − całkowite No wiec zeby xy+1 bylo podzielne przez 24, to x*y musi byc podzielne przez 23 pary liczb calkowitych, ktorych iloczyn daje 23: x = 1 , y = 23 x = −1 , y = −23 nie ma wiecej bo 23 to liczba pierwsza zatem odp. tak − wyrazenie x+y zawsze jest podzielne przez 24, bo: 1+23 = 24, −1−23 = −24

Basia: x*y nie musi być podzielne przez 23 na przykład −7*7+1 = −48 jest podzielne przez 24 −7*7 = −49 nie jest podzielne przez 23 analogicznie 5*19+1 = 96 jest podzielne przez 24 a 5*19=95 nie jest wcale podzielne przez 23

Ice Tea: Basia tam jest x+y

Basia: ale z tego, że 24|(x*y+1) nie wynika, że 23|(x*y) tylko do tego się odniosłam, bo na tym oparł swoje (niepoprawne) rozumowanie xyz−a

xyz-a: zgadza sie, rozumowanie niestety niepoprawne, jednakze odpowiedz to bedzie ze tak.

Ice Tea: Rozumiem, ale w takim razie jakie jest poprawne rozwiązanie tego problemu?

Ice Tea: Tzn jak to udowodnić?

Basia: Niestety nie wiem; przynajmniej na razie

Mila: xy+1=24k, k∊C⇔ xy=24k−1 prawa strona jest liczbą całkowitą nieparzystą x=1 i y=24k−1 x+y=24k ========== ?

Adamm: Mila, x=1? Nie będę rozwiązywać, ale dam wskazówkę Wystarczy udowodnić że 24|(x+1)(y+1) ⇔ 3|(x+1)(y+1) oraz 8|(x+1)(y+1) To już łatwe

Ice Tea: Adamm, wybacz ale niestety nie rozumiem, dlaczego wystarczy udowonic ze 24|(x+1)(y+1), i jak udowodnic to z trojka i osemka, bo jestem w stanie tylko tyle zrozumiec ze cos jest podzielne przez 24 jest jest przez 8 i 3

xyz-a: (x+y)(y+1) = (xy+1) + (x+y) czyli w sumie @Adamm napisal, ze wystarczy udowodnic, ze te obie rzeczy dziela sie przez 24. Niestety sam tego nie czuje

zombi: x+y = (x+1)(y+1) − (xy+1), przy założeniu 24|(xy+1), badając podzielność x+y, potrzeba i wystarcza badać podzielność iloczynu (x+1)(y+1). I tu właśnie wkracza wskazówka Adama. Jak udowodnisz, równoważność którą podał Adam to rozwiązałeś zadanie.

Ice Tea: Jak udownodnić taką równoważność? Przecież jeśli mamy 8|(x+1)(y+1) to podstawiając na przykład 4 i 6, otrzymamy 35, które nie jest podzielne przez 8

Basia: xy=24k−1 czyli x i y są nieparzyste xy = 3*8*k − 1 = 8k*3 + (7−8) = 8(3k−1)+7 czyli jedna a nich musi dawać przy dzieleniu przez 8 resztę 7, a druga 1 xy = 8*3k + 2−3 = 3(8k−1)+2 czyli jedna musi dawać przy dzieleniu przez 3 resztę 2, a druga 1 dalej już chyba oczywiste

Ice Tea: hmm z tego wynika, reszta zostanie albo 1+2=3 albo 1+7=8? Przepraszam, nie rozumiem nadal, co wynika z tego że jedna daje resztę taką a druga taką

Basia: 1. x=8k+7 ⇒ x+1=8k+8 = 8(k+1) y= 3n+2 ⇒ y+1 = 3n+3 = 3(n+1) (x+1)(y+1) = 24(k+1)(n+1) czyli jest podzielne przez 24 (x+1)(y+1) = xy+x+y+1 = (xy+1)+(x+y) x+y = (x+1)(y+1) − (xy+1) obie liczby po prawej są podzielne przez 24 więc ich różnica też 2. czy może być tak, że jedna spełnia oba warunki? wypadałoby sprawdzić, ale gdyby to było np.x to x+1 byłoby podzielne i przez 8 i przez 3 czyli przez 24 no to (x+1)(y+1) też

Ice Tea: Dziękuję

Mila: x*y=24k−1, k∊C liczba 24k−1 jest liczbą pierwszą wtedy mamy przypadek 20:57 lub liczbą nieparzystą złożoną, jedna z liczb przy dzieleniu przez 24 daje resztę 11 a druga 13.

Basia: Witaj Milu Nie musi tak być x=5 y = 19 5*19 = 95 = 96−1 = 4*24−1 reszty to oczywiście 5 i 19

Ice Tea: Nie wiedziałem że tak krótkie zadanie może sprawić tyle problemów

Basia: zadanie całkiem ciekawe; a podpowiedź Adamma dała możliwość dokładnego rozwiązania

Mila: Masz rację Basiu, pokręciłam rachunki − rozważałam reszty z dzielenia przez 24. Będę bardziej wypoczęta , to może dokończę ( albo i nie) swój pomysł. Już wczoraj to odkryłam, że źle wpisałam , ale poszłam spać ( remont męczy).

Ice Tea: Mila, możesz dokończyc w wolnej chwili ten pomysl, mysle ze moze byc ciekawie Takie krotkie zadanie a tak skomplikowane

Mila: Na razie mam luki w rozwiązaniu.