Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n^5-n jest podzielna przez 30 PxG: Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n⁵−n jest podzielna przez 30 n∊N n⁵−n = n(n⁴−1) n(n⁴−1) = n(n²−1)(n²+1) n(n²−1)(n²+1) = n(n−1)(n+1)(n²+1) (n−1)n(n+1)(n²+1) Utknąłem w tym momencie. Widzę, że są to trzy liczby następujące po sobie czyli co najmniej jedna z tych liczb podzielna jest przez 2 i jedna z tych liczb jest podzielna przez 3. Czyli ta liczba podzielna jest przez 6. Może powinienem sformułować tezę na zasadzie (n−1)n(n+1)(n²+1) = 30x Proszę o podpowiedzi, nie rozwiązanie. Dziękuje

Pytający: Rozważ podzielność przez 5 iloczynu (n−1)n(n+1)(n²+1) dla n=5k+m, m∊{0,1,2,3,4}.

Adamm: albo (n−1)n(n+1)(n−2)(n+2)+5(n−1)n(n+1) pierwszy czynnik dzieli się przez 5!, a drugi przez 5*3!

Eta: n(n−1)(n+1)(n²+1) = n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5]= (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) +5(n(n−1)(n+1)= ... = 6*5k=30k pierwszy składnik jest iloczynem pięciu kolejnych liczb naturalnych więc jest podzielny przez 5 i przez 6 drugi składnik też 5*6 zatem n⁵−n= 30k

PxG: @Pytający Nie za bardzo potrafię to rozwinąć, aczkolwiek chciałbym poznać tą metodę. @Adamm Muszę umieć to rozwiązywać na poziomie 2 klasy LO, czyli bez znajomości silni. @Eta Kumam, nie wpadłem na to żeby rozbić wzór skróconego mnożenia. Składnik jest iloczynem pięciu kolejnych liczb naturalnych więc jest podzielny przez 5 i przez 6. Gdzie znajdę twierdzenie lub jak do nich dojść? Po prostu mnożąc i wyciągając wnioski?

Pytający: n=5k+m, m∊{0,1,2,3,4}, wtedy m to możliwe reszty z dzielenia n przez 5 Mamy: • n=5k+0, wtedy n=5k • n=5k+1, wtedy (n−1)=5k • n=5k+2, wtedy (n²+1)=((5k+2)²+1)=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1) • n=5k+3, wtedy (n²+1)=((5k+3)²+1)=25k²+30+10=5(5k²+6+2) • n=5k+4, wtedy (n+1)=5k+5=5(k+1) Czyli (n−1)n(n+1)(n²+1) zawsze jest podzielne przez 5.

PxG: Skąd założone elementy zbioru?

PW: Masz przecież napisane, że są to reszty z dzielenia przez 5 − innych nie ma

PxG: Przeoczyłem Dziękuje bardzo, świetny sposób

Benny: n[n−1][n+1][n²+1] dzieli się przez 6 z oczywistych względów. Dodatkowo dzieli się przez 5 co wynika wprost z małego twierdzenia Fermata.