zadanie z matury 2018 maturzystka: Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b prawdziwa jest nierówność ¹_2a + ¹_2b ≥ ²_a+b. Zadanie z dzisiejszej matury, jak zrobić?

ite: jeden ze sposobów

1		1		2
	+		≥		a>0, b>0
2a		2b		a+b

wszystkie przekształcenia są równoważne

b		a		2
	+		−		≥0
2ab		2ab		a+b

a+b		2
	−		≥0
2ab		a+b

(a+b)2		2*2ab
	−		≥0
(a+b)2ab		(a+b)2ab

(a+b)2−4ab
	≥0
(a+b)2ab

(a−b)2
	≥0
(a+b)2ab

(a−b)²≥0, (a+b)2ab>0 więc powyższa nierówność jest prawdziwa

maturzystka: (a+b)2ab>0 a co jeśli 'a' lub 'b' będzie minusowe?

t: @maturzystka Założenie: "dowolnych liczb dodatnich a,b"

Krzysiekmatura: a, b są dodatnie

hubi: można na wiele sposobów przykładowo:

	1		1
(		+		)*(a+b) ≥2
	2a		2b

a+b		1
	≥
2		1   1   + 2a   2b

a+b		2
	≥
2		1   1   + a   b

a powyższ nierówność to nierównośc między średnia arytmetyczną a średnia harmoniczną

Blee: w zadaniu masz podane, że a,b są dodatnie

maturzystka: a okey. mi wyszło coś takiego : (a √2 − b √2)² / 4a²b + 4ab² ≥ 0 i pomnożyłam razy dół (4a²b ....) zapomniałam o tym warunku i zastanawiałam się czy to dobrze, ale chyba dobrze, nie?

PW: Można na wiele sposobów, przykładowo: Wiadomo, że dla dowolnych a, b ∊ R (a−b)²≥0, a więc a²−2ab+b²≥0 a²+2ab+b²≥4ab (a+b)²≥4ab. ż założenia wynika, że a+b>0 i ab>0, zatem po podzieleniu stronami przez 2ab(a+b) dostajemy

	a+b		2
		≥
	2ab		a+b

	a		b		2
		+		≥
	2ab		2ab		a+b

	1		1		2
		+		≥		,
	2b		2a		a+b

co kończy dowód.

Eta: Przekształcając równoważnie: mnożąc nierówność przez 2ab(a+b)>0 b(a+b)+a(a+b)≥4ab a²−2ab+b²≥0 (a−b)²≥0 ...................

zgredek: Jak myślicie, można było tak:

2(a−b)2
	≥ 0
4ab(a+b)

bo (a−b)² ≥ 0 i 4ab > 0 bo z zał. iloczyn dwóch dod. liczb > o i a+b > bo z zał. suma dwóch liczb dod. > 0 a więc mianownik stale > 0

2a2 − 4ab + 2b2
	≥ 0
4ab(a+b)

2a2 + 4ab + 2b2 − 8ab
	≥ 0
4ab(a+b)

2a2 + 4ab + 2b2		8ab
	≥
4ab(a+b)		4ab(a+b)

2(a+b)2		2
	≥
4ab(a+b)		a+b

2a+2b		2
	≥
4ab		a+b

1		1		2
	+		≥
2a		2b		a+b

c.n.w.

Matura 2018: Ja znam najlepszy sposób

1		1		2
	+		>=		// *0
2a		2b		a+b

0>=0 c.n.w prove me wrong.

PW: Wrong is multiplication by zero.