Ekstremum funkcji dwóch zmiennych SEKS INSTRUKTOR: Ekstremum funkcji dwóch zmiennych f(x,y) = x³ +3xy²−51x−24y df/dx = 3x²+3y²−51 df/dy= 6xy−24 No i obie pochodne przyrównuję do zera i rozwiązuję układ równań: 3x²+3y²−51 =0 6xy−24 =0 tyle, że z niego wychodzi mi, że (x+y)² = 25 czyli x+y = 5 v x+y=−5 x = 5−y v x=−5−y czyli są dwie możliwości na x, podstawiam to do równania 6xy −24 =0 czyli 1^O liczę dla x = 5−y 6*(5−y) *y −24 =0 −6y²+30y−24=0 / :6 −y{2) −5y −6 = 0 y1= 1, y2 =4 i znów wstawiam to do pierwszego czyli już z tego warunku mam 2 punkty tj P1=(4,1) P2=(1,4) Z tego wnioskuję, że z kolejnego przypadku (kiedy x = −5−y) dostanę kolejne dwa punkty, w sumie będą 4. I te wszystkie punkty później muszę wprowadzić do macierzy. Co zaś po tym zrobić?

zombi: Musisz policzyć drugie pochodne f^''_xx, f^''_xy, f^''_yx, f^''_yy. Tworzysz następnie macierz [f^''_xx f^''_xy] [f^''_yx f^''_yy] i liczysz jej wyznacznik dla punktów, które ci wyszły jako podejrzane o ekstremum. Następnie badasz znak tego wyznacznika.

zombi: Dodatni jest ekstremum, ujemny nie ma, zero nie rozstrzyga.

SEKS INSTRUKTOR: no tak, to wiem chodziło mi głownie o to, czy mam podstawić wszystkie te 4 punkty czy jak, ale już przeliczyłem i wyszło Dzięki!

SEKS INSTRUKTOR: trochę upierdliwy przykład, bo pierwszy na liście zadań a już troche było liczenia

SEKS INSTRUKTOR: A jak to jest z f`xy i f`yx, one zawsze wychodzą takie same i można tam wstawić f`xy po prostu w obu miejscahc?

SEKS INSTRUKTOR: Wyszły mi poza tym punkty: (4,1) (1,4) (−2,−3) (−3,−2) No i wolfram mówi, że maksimum w (4,1), a w (1,4) minimum, ale dla (1,4) wyznacznik macierzy wychodzi tam ujemny bo macierz mam taką 6x 6y 6y 6x

zombi: Co do równości pochodnych mieszanych, to tw. Schwarza bodajże mówi, że pochodne mieszane są równe w jakimś punkcie jeśli funkcja ma drugie pochodne ciągłe, jest klasy C²

SEKS INSTRUKTOR: w wiekszosci przykladow jakie liczę, to pochodne wychodzą takie same, ale dla pewności lepiej w sumie liczyć je oddzielnie