całka niewłaściwa Karo: Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania krok po kroku.Oblicz całkę niewłaściwą w granicach całkowania od 1 do ∞ ∫1/xlnx

Blee: 1) liczysz całkę nieoznaczoną:

	1		dx		dt
∫		dx = // t = lnx ; dt =		// = ∫		= ln t = ln (lnx)
	x*lnx		x		t

2) całkę nieoznaczoną zamieniasz na granicę całki oznaczonej:

	1		1
∫sup>1∞ (		) dx = lima−>∞ ∫1a (		) dx =
	x*lnx		x*lnx

= lim_a−>∞ [ ln(lnx) ]₁^a = lim_a−>∞ ln (ln a) − ln (ln 1) = ... dokończ samodzielnie

piotr:

	dx
∫1+∞		?
	xlnx

Karo: właśnie chodzi mi też o obliczenie tej granicy, bo mi coś nie chciało tam wyjść

Blee: cholera ... w sumie zapomniałem, że 1 też trza zamienić na granicę więc będzie:

	1
lima−>∞ ( limb−>1 ∫ba		dx)
	x*lnx

Blee: granica +∞

Karo: a tam w tym odejmowaniu wyjdzie ln∞ − ln0, Czy to nie będzie symbol nieoznaczony?

Karo: Bardzo proszę, jeśli ktoś umie obliczyć tą granicę o rozpisanie tych obliczeń

zombi: Ta całka jest rozbieżna. Podzielmy ją na przedziały

	1
∫1+∞		dx = ∫2+∞dx + ∫12dx
	x*lnx

Druga całka

	1
∫12		dx
	x*lnx

Dla x∊[1,2] mamy lnx∊[0, ln2], czyli lnx ≤ ln2, a stąd

1		1
	≤		.
ln2		lnx

Szacujemy naszą całkę z dołu

	dx		dx		dx
∫2+∞		+ ∫12		≤ ∫1+∞
	x*lnx		x*ln2		x*lnx

Ale lewa strona dąży do nieskończoności, więc prawa również.

Blee: czyli masz: +∞ − (−∞) = +∞ + ∞ = +∞

Karo: Dziękuję bardzo, już rozumiem