Trudne zadanie maturalne Tomi: Wyrazami ciągu skończonego a₀,a₁,...,a_n (n≥1) są liczby 0 i 1 oraz a₀=0, a₁=1. Wykaz że liczba par (i−1, i), dla których a_i−1≠a_i, jest nieparzysta

Blee: Na pewno DOKŁADNIE tak brzmi treść zadania? Nie ma tutaj żadnych informacji co do n Jeżeli nie ... to wtedy to zadanie jest jedną wielka bzduuurą

jc: 0 1 1 0 (0,1), (2,3) dwie pary dwa jest liczbą parzystą

Blee: JC wystarczy: niech ciąg {a_n} będzie miał nieparzystą liczbę takich par gdzie w takim razie ciąg {a_n+1} będzie miał ich parzystą jeżeli tylko a_n+1 ≠ a_n

Blee: W ogóle jest to idiotyzm: 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 ..... 0 1 1 .... 1 .... 1 0 każdy z tych ciągów ma dokładnie dwie takie pary.

Tomi: Sorry kurczak jes błąd powinno być " są liczby 0 i 1 oraz a₀ =0, a_n=1" tu była pomyłka z tym n w indeksie sorry

jc: Jak tak, to jasne. Musi wystąpić nieparzysta liczba zmian, aby początkowe 0 zamieniło się na 1.

Tomi: A jak wykazać to?

jc: Czy na prawdę potrzebny Ci formalny dowód? (−1)^{liczb zmian} = (−1)^a₁−a₀ (−1)^a₂−a₁ ... (−1)^{a_n−a_n−1} =(−1)^{a_n − a₀}= −1, co oznacza, że liczb zmian jest liczbą nieparzystą.

Tomi: A co to oznacza formalny dowód?

jc: Po prostu rzecz wydaje się oczywista i wszelki dowód zbędny. Ścisły dowód, dowód byłby dowodem indukcyjnym. Należałoby pokazać, że jeśli na n tym miejscu stoi 1, to w ciągu a₀, a₁, ..., a_n mamy nieparzystą liczbę zamian (wolę tak pisać, niż odwoływać się do określenia z treści zadania), a w przeciwnym wypadku liczbę parzystą. Dla n=1 mamy dwa przypadki 00 (zero zmian, liczb parzysta), 01 (jedna zmiana, liczba nieparzysta. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n. Rozpatrujemy 4 przypadki. Kolejny wyraz = 0, ostatni wyraz = 0, parzysta + 0 = parzysta. ok Kolejny wyraz = 1, ostatni wyraz = 0, nieparzysta + 1 = parzysta. ok Kolejny wyraz = 0, ostatni wyraz = 1, parzysta + 1 = nieparzysta. ok Kolejny wyraz = 1, ostatni wyraz = 1, nieparzysta + 0 = nieparzysta. ok Zatem, jeśli na n−tej pozycji jest 1, to liczba zmian jest nieparzysta.

Tomi: Ok dzięki przeanalizuje

jc: Niejasno napisałem. Zamiast "kolejny wyraz", wpisz "wyraz nr n ", a w miejsce "ostatni wyraz", "wyraz nr n+1".