podzielność matlamp: Udowodnij, że jeżeli liczba całkowita podzielna przez 3 jest sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

Basia: (3n+1)² = 9n²+6n+1= 3(3n²+2n) + 1 (3n+2)² = 9n²+12n+4 = 9n²+12n+3+1 = 3(3n²+4n+1)+1 kwadrat liczby niepodzielnej przez przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę jeden gdyby żadna z tych liczb nie byłaby podzielna przez 3 suma kwadratów dałaby przy dzieleniu przez 3 resztę 5 też niepodzielną przez 3 gdyby tylko jedna była podzielna przez 3 suma kwadratów dałaby resztę 4 jeżeli dwie będą podzielne przez 3 (czyli ich kwadraty będą podzielne przez 9) suma pozostałych da resztę 3 podzielną przez 3 mogą być albo dwie podzielne przez 3, albo wszystkie