Dowód algebraiczny adastach4: Udowodnij, że dla takich dowolnych liczb rzeczywistych x,y, że x≥y, prawdziwa jest nierówność x³+3 x²y≥4y³

hubi: (x−y)(x²+xy+y²)+3y(x+y)(x−y)≥0 (x−y)(x²+4xy+4y²)≥0 (x−y)(x−2y)²≥0

hubi: (x−y)(x+2y)²≥0 *

PW: Świetne rozłożenie na czynniki, jednak nie każdy na to wpadnie w krótkim czasie. Spróbujmy inaczej. Jest oczywiste, że dla y=0 twierdzenie jest prawdziwe. Weźmy y>0, wówczas po podzieleniu stronami przez y³ teza jest równoważna nierówności

	x3		x2y
		+3		≥4
	y3		y3

	x		x
(1) (		)3+3(		)2≥4
	y		y

Nierówność ta ma postać a³+3a²≥4

	x
i jest prawdziwa, gdyż dla x≥y>0 jest a=		≥1, a więc składniki po lewej stronie są co
	y

najmniej równe 1 i 3.

	x
Weźmy y<0, wtedy		≤−1 i mamy udowodnić nierówność
	y

	x		x
(2) (		)3+3(		)2≤4
	y		y

a³+3a²−4≤0, a≤−1. a³+2a²+a²−4≤0 a²(a+2)+(a−2)(a+2)≤0 (a+2)(a²+a−2)≤0 (a+2)(a+2)(a−1)≤0 (a+2)²(a−1)≤0, a≤−1 Dla rozpatrywanych a nierówność jest prawdziwa. Pokazaliśmy, że badana nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x>y i y dowolnego znaku, co kończy dowód