Zadanie maturalne Tomi: Rozpatrujemy wszystkie trójkąty o obwodzie L i jednym z kątów o mierze 120°. Oblicz długości boków tego trójkąta, dla którego pole koła wpisanego w ten trójkąt będzie największe. Nie rozumiem czemu ten trójkąt, który spełnia warunki zadania musi być rownoboczny, nie rozumiem czemu Ktos to wyjaśni?

iteRacj@: Rozpatrujemy wszystkie trójkąty o obwodzie L i jednym z kątów o mierze 120°, więc pewnie warunek największego pola koła wpisanego spełnia trójkąt równoramienny.

Tomi: Ale właśnie czemu? Nie rozumiem tego

iteRacj@: Trójkąt równoboczny ma trzy kąty o równej mierze i ich suma wynosi 180^o, więc każdy z nich ma

	180o
po		=60 o.
	3

W tym zadaniu rozpatrujesz trójkąt, w którym jeden z kątów ma mierę 120°, czyli nie jest to Δ równoboczny.

Blee: zwór na promień okręgu wpisanego w trójkąt:

	2P		2P
R =		=
	a+b+c		L

jak widzisz ... szukamy po prostu trójkąta o największym polu zanim zaczniemy to dwa wzory: L = a+b+c −> a = L − b − c a² = b² + c² − 2bcsinα = b² + c² + bc z nich dochodzimy do: (L − b − c)² = b² + c² + bc stąd wyznaczamy jedną ze zmiennych (b lub c) i podstawiamy do wzoru na pole trójkąta:

	1		√3
P =		b*c*sinα =		bc
	2		4

w tym momencie masz funkcję jednej zmiennej ... liczysz ekstremum i gotowe

iteRacj@: Jeśli jeszcze widzisz tego, że największe pole koła wpisanego ma trójkąt równoramienny, zbuduj sobie model tej sytuacji. Zawiąż na końcach sznurek o określonej długości (L), wbij szpilkę w jakiś karton, na którym rysujesz dwie półproste przecinające sie pod kątem 120^o. Teraz przesuwaj dwie inne szpilki wzdluż ramion kąta 120^o i spróbuj ocenić, kiedy pole utworzonego Δ bedzie największe.

Blee: z (L − b − c)² = b² + c² + bc dochodzisz do:

	L2 − 2bL
c =
	2L − b

	√3		L2 − 2bL
P =		*b*
	4		2L − b

	√3		2L(L2 − 4Lb + b2)
P' =		*
	4		(2L − b)2

czyli b = L(2−√3) podstawiasz do wyznaczonego 'c' i wychodzi

	L2(1 − 4 + 2√3)
c =		= L(2 − √3) = b
	L(2 − 2 + √3

czyli jak iteRacj@ napisała na początku − trójkąt równoramienny.