Równania i nierówności trygonometryczne Kweszczon: Pytanie dwuczęściowe: ,,Dane jest równanie (2sinα + 1)x² − 2x + sinα = 0. Dla jakich α∊[−^π₂; ^π₂] a) równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste 4 − 8 sin²α − 4sinα > 0 Otrzymuję miejsca zerowe −^π₂ i ^π₆ Jedną z odpowiedzi w zbiorze, α∊(−^π₂; −^π₆), mogę zrozumieć, ponieważ zachowuję ten sam znak, jednak co z podaną w książce α∊(−^π₆; ^π₆)? Wówczas równanie przyjmuje niedodatnią wartość. b) suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 4sinα? Tutaj poproszę o wskazówkę.

PW:

	π		π
Jeżeli α∊[−		,		], to sinα∊[−1, 1] i przyjmuje wszystkie wartości z tego
	2		2

przedziału. Mamy więc równanie z parametrem p∊[−1, 1]:

	1
(2p+1)x2−2x+p=0, p∊[−1, 1]\{−		}
	2

	1
(p≠−		, gdyż dla takiej p równanie nie jest równaniem kwadratowym, nie ma dwóch
	2

rozwiązań). Δ=4−4(2p+1)p=4−8p²−4p; Δ>0 ⇔ −4(2p²+p−1)>0 ⇔ 2p²+p−1<0, p∊[−1, 1] − tutaj jest niuans, funkcja

	1
d(p)=2p2+p−1, p∊[−1, 1]\{−		}
	2

	1
ma dwa miejsca zerowe p1=−1, p2=		idziurę w dziedzinie a więc
	2

	1		1		1
d(p)<0 dla p∊(−1, −		)∪(−		.		).
	2		2		2

Wracamy do podstawienia:

	1		1		1
−1<sinα<−		lub −		<sinα<
	2		2		2

skąd

	π		π		π		π
−		<α<−		lub −		<α<
	2		6		6		6

Nie daj, Panie, takiego zadania na maturze.

Kweszczon: Jeżeli matura (nie) zaskoczy nas podobnym zadaniem − na pewno przypomni o Tobie. Jestem pod wrażeniem Twoich ponadprzeciętnych zdolności analitycznych, połączonych z umiejętnością przejrzystego przedstawiania swoich myśli. ,,Teraz jakie to oczywiste"... :') Pomysły na podpunkt b?

PW: b) Dla równania ax²+bx+c=0 mającego dwa rozwiązania x 1, x₂

1		1		x1+x2		−b/a		−b
	+		=4sinα ⇔		=4sinα ⇔		=4sinα ⇔		=4sinα.
x1		x2		x1x2		c/a		c

U nas −b=2 i c=sinα, a więc zadany warunek ma postać

	2
(1)		=4sinα
	sinα

Jeżeli sinα=0, to warunek (8) jest spełniony, ale równanie ma postać x²−2x=0 − jednym z rozwiązań jest liczba x₁=0, a więc nie można mówić o odwrotności x₁. Dla pozostałych α będących rozwiązaniami punktu a) rówanie (1) jest równoważne równaniu

	1
sin2α=
	2

i tak dalej (ostrożnie!)

PW: Coś napisałem bez sensu, jakby nie z tej bajki.. Wiersz 6. od dołu powinien brzmieć: Uwaga. Jeżeli sinα=0, to równanie ma postać