Trygonometria z parametrem Kweszczon: Cześć! Proszę o pomoc z pewnym krnąbrnym zadaniem: ,,Zbadaj, dla jakich wartości parametru m równanie sinxcosx = ^{m2 − 4m + 1}_{2m² − 2} ma rozwiązanie". Zakładam, że −1 ≤ ^{m2 − 4m + 1}_{2m² − 2} ≤ 1 , jednak uzyskuję niewiarygodne wyniki. Porównanie Waszych rozwiązań umożliwiłoby odkrycie błędu (np. wielebne 2 + 2 = 8).

iteRacj@:

	1		1
zauważ, że sin x*cos x=		*2*sin x*cos*x=		*sin (2x)
	2		2

−1≤sin (2x)≤1

	1		1		1
−1*		≤		*sin (2x)≤1*
	2		2		2

	1		1
−1*		≤ sin x*cos x ≤1*
	2		2

Kweszczon: Dziękuję za spostrzeżenie. Teraz z odpowiedzią w zbiorze zadań zgadza się jeden przedział z dwóch: [0; ¹₂]∪[2; ∞). Czy udało się Wam rozwiązać poprawnie?

PW:

	m2 − 4m + 1
sinxcosx=
	2m2 − 2

	m2−4m+1
2sinxosx=
	m2−1

	m2−4m+1
sin(2x)=		.
	m2−1

Z uwagi na zbiór wartości funkcji sinus rozwiązanie istnieje, gdy

	m2−4m+1
−1≤		≤1, m∊R\{−1, 1}
	m2−1

	−4m+2
−1≤1+		≤1
	m2−1

	−4m+2
−2≤		≤0
	m2−1

i po podzieleniu stronami przez (−2)

	2m−1
1≥		≥0
	m2−1

	2m−1		2m−1
		≥0 ∧		≤1
	m2−1		m2−1

	2m−1		2m−1
		≥0 ∧		−1≤0
	m2−1		m2−1

	2m−1		2m−m2
		≥0 ∧		≤0
	m2−1		m2−1

Iloraz ma taki sam znak jak iloczyn, a więc (2m−1)(m−1)(m+1)≥0 ∧ m(2−m)(m−1}(m+1)≤0 Teraz będzie dobrze?

iteRacj@: uważam swoje rozwiązanie za poprawne wiec wpisuję

	1
część wspólna warunków z obu nierówności (−1;		>U(1;∞) oraz (−∞;−1)U<0;1)U(2;∞)
	2

czyli tak jak w odp.

iteRacj@: PW mam te same nierówności jak Ty, co uważam za swój sukces

PW: Przyznam, że nie chciało mi się rysować "węży" i nie dokończyłem.