kombinatoryka Klemens: Dany jest trójkąt równoboczny którego wszystkie trzy wierzchołki należy pokolorować Dwa kolorowania uważamy za jednakowe, jeśli możemy jedno z nich otrzymać z drugiego za pomocą odpowiedniego obrotu trójkąta. Ile jest różnych sposobów pokolorowania wierzchołków naszego trójkąta przy użyciu niektórych bądź wszystkich spośród danych k kolorów?

Blee:

k 3

Klemens: Panie ble, nie rozumiem

Blee: Po pierwsze: KOLEJNOSC NIE JEST ISTOTNA Po drugie: masz k kolorow, a 3 z nich masz wybrac

	k 3
W takim razie		oznacza wybranie z k kolorow 3 (roznych).

Nie wiem czy tutaj w zadaniu jeszcze nie nalezaloby rozpatrzec sytuacji z dwoma wierzcholkami w jednym kolorze oraz trzema w jednym kolorze

Klemens: Panie ble, masz Pan racje, trzeba raczej... ale no to co, w jednym kolorze no to k³ mam rację?

Klemens: nie k³ tylko k, przepraszam, mój błąd kosmetyczny

Blee:

k 3
	<−−− trzy różne kolory

k*(k−1) <−−− dwa różne kolory z czego jeden dwukrotnie k <−−− jeden kolor trzykrotnie i dodajesz do siebie to wszystko

Klimek: czyli Panie Blee to wygląda tak?:

k 3
	+ k2 ? czy jak? bo po zszumowaniu tak mi wyszło... hmm

Klimek: Dlaczego jest kombinacja k po 3 dla trzech różnych kolorów, a dla dwóch różnych została wykorzystana już reguła mnożenia, gdzie można by przceież zrobić kombinację k po 2?

Adamm: Z tymi wszystkimi "Panami" to ja się czuję jak na uniwerku

Klimek: skoro kolejnosc nie jest istotna to dlaczego w pozostałych 2 przypadkach reguła mnozenia?

Adamm: tutaj będą chyba liczby Stirlinga 2 rodzaju

Adamm:

k 3		k 2		k 1
	+2*		+		− wygląda na to że tyle jest sposobów

gdzie symbol Newtona traktujemy jako równy 0 jeśli liczba górna jest mniejsza od dolnej

Klimek: Panie Adamm masz pan rację, właśnie się zastanawiałem dlaczego reguła mnożenia tam. Teraz to trywialne... ale gdyby ktoś to jeszcze potwierdził...

Adamm: Panie Klimek, potwierdzam.

Klimek: tylko Panie Adamm, dlaczego masz Pan 2* kombinacja k po 2 − bo dwa razy tego samego koloru się użyję, ale skoro teraz mamy Panie Adamm kombinację k po 1 to ten kolor 3 razy powinienem użyć, więc dlaczego nie razy 3?

Adamm: Szanowny Panie Klimek.

k 3
	odpowiada sytuacji gdy wybieramy 3 kolory

k 2
	odpowiada sytuacji gdy wybieramy 2 kolory

	k 1
i analogicznie

Widzę że również zaszła pomyłka, ponieważ sposobów jest

	k 3		k 2		k 1
2*		+2*		+

Niech Pan sobie wyobrazi że mamy trójkąt, i w jaki sposób możemy poukładać na nim 3 kolory. Oczywiście, jeśli będziemy go obracać, to możemy założyć że jeden ustalony kolor jest przy górnym wierzchołku. Jednak dwa pozostałe możemy ustawić tu na 2 sposoby Stąd dwójka Gdy mamy 2 kolory, sytuacja trochę się zmienia. Wybieramy który kolor chcemy zaznaczyć podwójnie, a który pojedynczo Przy wyborze jednego koloru, mamy tylko jeden sposób na jaki możemy pokolorować trójkąt I tak to właśnie Panie Klimku wygląda

Klimek: Dobrze, a proszę Pana, a możnaby było wykorzystać tutaj wzór na kombinację z powtórzeniami po prostu? Sprawa np. dla k=4 dla wzoru Pańskiego i wzoru dla kombinacji z powtórzeniami nie zgadza się.. Dla wzoru pierwszego, co Pan napisał się jednak zgadza. więc gdzie tkwi sedno?

Adamm: Proszę niech Pan przedstawi mi swój tok rozumowania, to może będzie się dało coś z tego wyłuskać

Klimek: Bardzo dziękuję za zainteresowanie. Oto mój tok rozumowania : http://uploadfile.pl/pokaz/1432742---vyid.html

Klimek : Wtedy Pana odpowiedź z 21:44 się zgadza. Podstawilem dane dla k=4 i też mi wyszło 20. Niestety ostatni wzór się już nie zgadza

Adamm: No cóż, nie jest to prawda. Niektóre ciągi zostały pominięte Na przykład ciąg 1, 3, 2

Klimek: Panie Adamm, Pan wybaczy za nękanie − ale jak to mówią: "kto pyta nie błądzi". No ale rozważyłem ciąg 1,2,3 to po co 1,3,2 skoro kolejność nie ma znaczenia tutaj w zadaniu, a z tego roku rozumowania wynika że jest ważna...

Blee: Dlaczego 'regula' mnozenia przy dwoch kolorach. Bo w tym przypadku kolejnosc jest istotna a konkretniej chodzi oto ze sekwencja: Czerwo, czerwo, bialy oraz bialy, bialy, czerwo to dwie rozne sekwencje Natomiast nie jest istotne czy bedzie to: Czerwo, czerwo, bialy czy Czerwo, bialy, czerwo czy Boaly, czerwo, czerwo

Blee:

	k 3
Klimek ... co do trzech roznych kolorow to faktycznie powinno byc 2*

Intuicyjnie dlaczego tak jest wyjasnie pozniej, najpierw narysuj sobie trojkat zaznacz wierzcholki i pomaluj jest w kolorach: 1 − czarny 2 − bialy 3 − niebieski Teraz sprobuj 'obracajac' ten trojkat dojsc do sytuacji: 1− czarny 2 − niebieski 3 − bialy Szybko zauwazyc, ze sie nie da tego uczynic.

Blee: Dlaczego? Bo o ile umiejscowienie pierwszego koloru w trojkacie jest dowolne (tak jak siadanie przy okraglym stole) to pozniej juz mamy punkt odniesienia, ktorym jest tenze kolor i to czy 'po lewej' bedzie niebieski a ' po prawej' bialy czy na odwrot jest dwoma odmiennymi przypadkami.

Klimek: To ja już nie rozumiem, to w końcu która odpowiedź jest poprawna, bo Pan Blee masz Pan inny tok rozumowania i inne wyniki niż pan Adamm

Blee:

	k 3		3 2		k 1
2*		+ 2*		+		=

	k*(k−1)*(k−2)		k*(k−1)
= 2*		+ 2*		+ k =
	3!		2!

	k*(k−1)*(k−2)
=		+ k*(k−1) + k
	3

ja niestety zapomniałem o 'pierwszej dwójce', a poza tym moje i Adamma zapisy prezentują dokładnie to samo

Klimek: Panie Blee, Panie Adamm, dziękuję za owocną współpracę. Kłaniam się, Akademia Morska Pozdrawiam i życzę dalszych sukcesów w karierze naukowej