równanie Eka: Rozwiąż równanie x³−3x=√x+2. Bardziej sposób niż sam wynik.

Blee: 1) założenia 2) podnosisz obustronnie do kwadratu i liczysz

ZKZ: Lub analiza starozytnych 1) bez zalozen 2) obustronnie do kwadratu 3) Sprawdzasz koniecznie rozwiazania zeby nie bylo pierwiastkow obcych .

Eka: Po podniesieniu do kwadratu mam x⁶ − 6 x⁴ + 9 x² − x − 2 = 0 x=2 jest pierwiastkiem wiec (x−2)*(x⁵+2x⁴−2x³−4x²+x+1)=0 i co dalej?

bezendu: Po podniesieniu do kwadratu masz x⁶−2x⁴+x²−x−2=0 Teraz szukaj kandydatów na pierwiastki wśród dzielników wyrazu wolnego.

Adamm: Dobrze napisał, x⁶−6x⁴+9x²−x−2=0

Eka: jak ty to podnosiłes do kwadratu?

Adamm: Dalej nie ma pierwiastków wymiernych, ale możesz sprawdzić czy nasz wielomian dzieli się przez jakiś inny wielomian stopnia 2 o współczynnikach całkowitych

bezendu: Faktycznie, pomyłka.

bezendu: Ja podniosłem x³−x, zapomniałem o 3

Eka: A jak sprawdzić te dalsze pierwiastki?

Adamm: (ax²+bx+c)(a₁x³+b₁x²+c₁x+d₁)=x⁵+2x⁴−2x³−4x²+x+1 Mnożysz i sprawdzasz czy istnieją takie a, b, c, a₁, b₁, c₁, d₂ że wszystkie z nich są całkowite, i równość zachodzi

Adamm: a=1, a₁=1 − od razu widać b₁+b=2 c₁+bb₁+c=−2 d₁+bc₁+b₁c=−4 bd₁+cc₁=1 cd₁=1 ⇒ c=d₁=±1 1. c=d₁=1 b₁+b=2 c₁+bb₁=−3 bc₁+b₁=−5 b+c₁=1 (b₁−2)(b₁−1)=4 b₁²−3b₁−2=0 nie ma pierwiastków całkowitych 2. c=d₁=−1 b₁+b=2 c₁+bb₁=−1 bc₁−b₁=−3 b+c₁=−1 b(b₁−1)=0 b=0 lub b₁=1 no i tu znowu 2 opcje i tak dalej, kontynuujesz

piotr: −2−x+9 x²−6 x⁴+x⁶ = (−2+x) (−1+x+x²) (−1−2 x+x²+x³)

jc: x⁶−6x⁴+9x²−x−2=0 Ciekawe, że t=√x+2 spełnia takie samo równanie.

jc: Podstawmy x=2 cos t. Otrzymamy równanie cos 6t = cos t, przy czym cos t ≥ 0. 6t = t + 2kπ lub 6t=2kπ − t t = 2kπ/5 lub t=2kπ/7 t ∊ { 0, 2π/5, 2π/7}

	√5−1
x = 2 lub x=2 cos 2π/5 =		lub x=2 cos 2π/7
	2

To wszystko!

jc: Źle napisałem. Podstawiamy x=2 cos 2t. Mamy zatem x =2 x=2 cos 4π/5 x = 2 cos 4π/7. Teraz już jest dobrze.