Optymalizacja Jasiu: Dwa wierzchołki A i B kwadratu ABCD należą do prostej x−2y=0, a wierzchołek C należy do

	8
hiperboli o równaniu y= −		. Oblicz długość przekątnej kwadratu, którego pole jest
	x

najmniejsze. Obliczyłem pochodną, miejsca zerowe i długość przekątnej, ale nie wychodzi mi narysowanie wykresy i pokazanie, dla jakich x pochodna jest > 0 etc.

Jasiu: Podbijam

Kasia: https://www.youtube.com/watch?v=bfxBeEDh8wg

Janek191: m :y = 0,5 x

	8
y = −		, x ≠ 0
	x

Prosta równoległa do m : y = 0,5 x + b więc

	8
0,5 x + b = −		/ * x
	x

0,5 x² + b x + 8 = 0 Δ = b² − 4*0,5*8 = b² − 16 = 0 ⇔ b = − 4 lub b = 4 zatem y = 0,5 x − 4 lub y = 0,5 x + 4

	8
Punkt wspólny prostej y = 0,5 x + 4 i hiperboli y = −
	x

	8
0,5 x + 4 = −		/ * x
	x

0,5 x² + 4 x + 8 = 0 Δ = 16 − 4*0,5*8 = 16 − 16 = 0

	−4
x =		= 4
	1

piotr:

	(x+16/x)2
P(x) =
	5

min{(x + 16/x)²} = 64/5 w x = −4 i x=4 przekątna: p=8√2/√5

Janek191: x = − 4 y = 2 C = ( − 4, 2) Prosta prostopadła do prostej y = 0,5 x przechodząca przez C y = − 2 x + k 2 = − 2*(−4) + k ⇒ k = − 6 y = −2 x − 6 −−−−−−−−−−−−−−−− Punkt wspólny tych prostych: 0,5 x = −2 x − 6 2,5 x = − 6 x = − 2,4 y = −1,2 A = ( −2, 4 ; −1,2 )⇔

Janek191:

piotr: w tym zadaniu należy napisać funkcję na pole kwadratu ABCD i znaleźć jej minimum, a nie zgadywać, że styczna do y=−8/x zawiera bok CD, jak to czyni gość na youtube z podanego linku.

Janek191: Zamiast A powinno być B.

Janek191: Zadanie rozwiązałem bez korzystania z pochodnej

piotr: ale gdzie jest wykazanie, że proste y = 0,5 x − 4 lub y = 0,5 x + 4 zawierają boki kwadratu o najmniejszym polu?

Janek191: Proste zielone równoległe do prostej y = 0,5 x są styczne do hiperboli, więc odległość punktu styczności C od punktu B jest najmniejsza.