Znajdź ekstrema lokalne funkcji Mattttts: f(x,y,z)= x³ + xy + y² − 2xz +2z² + 3y − 1

Mattttts: Obliczyłem oczywiście pierwsze pochodne cząstkowe: a) po x −> 3x² + y − 2z b) po y −> x + 2y +3 c) po z −> −2x + 4z Jak obliczyć poszczególne wartości dla x, y i z? a jak będzie wyglądał potem hesjan z tego?

grzest: f(x,y,z)= x³+xy+y²−2xz+2z²+3y−1,

∂f
	=3x2+y−2z=0
∂x

∂f
	=x+2y+3=0
∂y

∂f
	=−2x+4z=0.
∂z

Otrzymujemy dwa rozwiązania tego układu równań:

	1		5		1		1
(−		, −		, −		), (1, −2,		).
	2		4		4		2

| 6x 1 −2| Macierz Hessego H = |1 2 0| |−2 0 4 | Aby stwierdzić czy czy w danym punkcie jest ekstremum, musimy zbadać jej określoność w znalezionych punktach stacjonarnych.

	1		5		1
1. Punkt (−		, −		−		):
	2		4		4

|−3 1 −2| H = | 1 2 0 | |−2 0 4 | Macierz ta jest ujemnie określona, gdyż wszystkie minory główne są ujemne (sprawdzić!). ⇒ W

	1		5		1
punkcie (−		, −		−		) mamy więc maksimum.
	2		4		4

	1
2. Punkt (1, −2,		):
	2

| 6 1−2| H = | 1 2 0| |−2 0 4| Macierz ta jest dodatnio określona, gdyż wszystkie minory główne są dodatnie (sprawdzić!). ⇒ W

	1
punkcie (1, −2,		) mamy więc minimum.
	2

Mattttts: A jak będzie wyglądał układ równań i rozwiązanie tego ukladu (chcąc obliczyć tego x,y i z) Dla mnie to jakoś dziwnie wychodzi ponieważ wszystko się tak jakby zeruje

grzest: Równania masz przecież wypisane przy obliczaniu pochodnych. Przepiszę je jeszcze raz 3x²+y−2z=0, x+2y+3=0, −2x+4z=0. Jest to układ trzech równań wyjątkowo łatwy do rozwiązania. Wystarczy np. wyliczyć z drugiego równania y a z trzeciego z i wstawić do równania pierwszego. Otrzymamy wtedy równanie kwadratowe, które rozwiązują gimnazjaliści. Powodzenia.

grzest: Przy okazji, sprawdź dokładnie określoność macierzy H w punkcie pierwszym. Tam może być błąd.