Równanie trygonometryczne rna: Będę wdzięczna za sprawdzenie mojego rozwiązania, bo wyszło mi dodatkowe rozwiązanie, a w kluczu odpowiedzi są tylko 3. Rozwiąż równanie √3sinx = 1 − cosx w przedziale <0, 2π>. √3sinx = 1 − cosx /² 3sin²x = 1 − 2cosx + cos²x 3(1−cos²x) = cos²x − 2cosx + 1 cos²x − 2cosx + 1 = 3 − 3cos²x 4cos²x − 2cosx − 2 = 0 2cos²x − cosx − 1 = 0 t = cosx ∧ t ∊ <−1;1> 2t² − t − 1 = 0 Δ = 9

	1−3		1
t1 =		= −
	4		2

	1+3
t2 =		= 1
	4

	1
cosx = −		v cosx = 1
	2

	2π		4π
Z wykresu odczytuję, że x ∊ {0,		,		, 2π}.
	3		3

	4π
W odpowiedzi jest to samo oprócz x =		. Wydaje mi się, że mam rację, ale wolę się kogoś
	3

spytać.

annabb: Sprawdź z pierwszym zanim podnioslas do kwadratu

Basia: podnosisz do kwadratu nie wiedząc nic o znakach stron równania dlatego dostajesz pierwiastki obce rówannia a=b i a²=b² nie są równoważne na przykład: x=5 (jedno rozwiązanie) a x²=25 ma dwa x=5 i x=−5 można to rozwiązać bez podnoszenia do kwadratu

Basia: √3*sin x = 1−cos x √3*sin x + cos x = 1 /:2

√3		1		1
	*sin x +		*cos x =
2		2		2

	π		π		1
(sin x)*(cos		) + (sin		)*(cos x) =
	6		6		2

	π		1
sin(x+		) =
	6		2

	π		π
x+		=		+2kπ
	6		6

lub

	π		5π
x+		=		+2kπ
	6		6

x = 2kπ lub

	4π		2π
x =		+2kπ =		+2kπ
	6		3

	2π
stąd: x=0, x=2π, x =		i nic więcej
	3

rna: Rozumiem, bardzo dziękuję.

PW: Z nudów podam jeszcze jedno rozwiązanie, wykorzystujące wzory połówkowe.

	x		x		xc
√3.2sin		cos		=2sin2		.
	2		2		2

Wynik stąd, że

	x
(1) sin		=0
	2

lub

	x		x		x
√3cos		=sin		i sin		≠0,
	2		2		2

	x
po podzieleniu stronami przez sin
	2

	x   cos   2
√3		=1
	x   sin   2

	x
(2) tg		=√3.
	2

	2π
Równanie (1) na przedziale <0,2π> ma rozwiązania 0 i 2π. a rozwiązaniem (2) jest		.
	3

PW: Korekta. W drugim wierszu niepotrzebne "c", powinno być

	x
...=2sin2		.
	2

rna: Dziękuję PW, Twoje rozwiązanie jest dużo bardziej przejrzyste!