algebra liniowa Michał: Witam mam problem z zadaniami typu : Znaleźć postać kanoniczną formy kwadratowej f(x,y,z)=2x²+2y²−2z²+6xy+2xz−2yz Wiem że postać kanoniczna to zapis w postaci macierzy,ale nie mam pojęcia jak to robić.. Czy jest jakiś prosty sposób bądź schemat ? Proszę o pomoc. i z góry dziękuje Dodatkowo w tym zadaniu mam jeszcze coś takiego Jaką powierzchnię przedstawia równania f(x,y,z)=15

jc: Hiperboloida.

Michał: jc mógłbyś rozwinąć swoją myśl ?

Michał: up

grzest: Macierz formy kwadratowej: | 2 3 1| A= | 3 2 −1| | 1 −1 −2| Wielomian charakterystyczny: −λ³+2λ²+15λ=−(λ−5)λ(λ+3) Wartości własne: λ₁=−3, λ₂=0, λ₃=5. Wektory własne: v₁=[1,1,0]^T, v₂=[−1,1,2]^T v₃=[1,−1,1]^T Macierz diagonalizująca: |−1 1 1| |−1/6 1/6 1/3| B = |1 −1 1| B⁻¹ = |1/3 −1/3 1/3| |2 1 0| |1/2 1/2 0| Macierz formy kanonicznej: |−3 0 0 | C = B⁻¹AB = | 0 0 0 | | 0 0 5 | Postać kanoniczna formy: f(x',y',z') = −3x'²+5z'².

	x2		z2
f(x,y,z) = 15 ⇒ −3x2+5z2=15 ⇒		−		+1=0 ⇒ walec hiperboliczny o osi
	5		3

równoległej do Oy.

jc: Pomyliłem się, ale dodam, że można zastosować diagonalizację Lagrange.

	1		5
...=		(2x+3y−z)2 −		(y+z)2
	2		2

i widać, co napisał grzest, że mamy walec hiperboliczny.

grzest: @jc W rozwiązaniu, które podałeś jest (zapewne niewielki) błąd. Po podniesieniu do kwadratu i uporządkowaniu otrzymujemy formę f(x,y,z)=2x²+2y²−2z²+6xy−2xz−8yz. Nie jest to forma podana przez Michała.

jc: Pomnożę przez 2 (potem możesz podzielić). 4x²+4y²−4z²+12xy+4xz−4yz =(2x+3y+z)² −5y²−5z²−10yz = (2x+3y+z)² − 5(y+z)² To cały rachunek. Faktycznie przy z napisałem − zamiast +.

jc: Diagonalizacja Lagrange jest prostsza, ale nowe kierunki nie muszą być do siebie prostopadłe. Ważne są znaki (niezależnie, co wyjdzie, znaki będą takie same tzn. liczba +, liczba −, liczba 0)

jc: grzest, przy formach kwadratowych lepiej mieć C=B^t A B. Aby tak było, wektory własne trzeba unormować. (teraz dopiero zauważyłem, że to Ty odkryłeś usterkę, nie autor wpisu).

grzest: No tak. Jednak wynik otrzymany tym drugim sposobem jest taki sam: |−3 0 0 | C = | 0 0 0 | | 0 0 5 |.

grzest: Autor wpisu zapewne tu nie zagląda, gdyż jest już po kolokwium.

jc: grzest, faktycznie policzyłem, tak jak Ty. Właściwie to policzył komputer, tylko źle wpisałem macierz (wyszło + + − zamiast + − 0). W przypadku diagonalizacji Lagrange'a B^tB nie musi być jedynką. Zresztą, pewnie to wszystko wiesz ...