Udowodnij Ktoś: Witam, mam pytanka do jednego zadania które już się pojawiło na tym forum.

	1
Udowodnij, że jeśli a>0 i b>0 oraz a+b=1, to ab≤
	4

W rozwiązaniu za b podstawiamy do TEZY 1−a (b=1−a) i z tego bez problemu można rozwiązać, ale przecież w zadaniach w których trzeba udowodnić jakąś tezę nie można tak po prostu sobie podstawiać.

jc:

	1		1		1
ab =		[ (a+b)2 − (a−b)2 ] ≤		(a+b)2 =
	4		4		4

a, b nie muszą być dodatnie!

Ktoś: Takie było polecenie, nie krzycz

Ktoś: I dziekuję za pomoc, ale nadal sie zastanawiam czy sposob pokazany przez autorow jest w 100% poprawny skoro oni skorzystali z tezy podstawiajac do niej

jc: Być może chodziło o coś takiego: b = 1−a ab = a(1−a) ≤ 1/4 (dlaczego?) −−− a(1−a)=[1 − (1−2a)²]/4 ≤ 1/4

PW: Nie jest to ładny sposób, ale jeżeli zaznaczymy, że wszystkie kolejne przekształcenia są równoważne przy podanym założeniu i na końcu otrzymamy nierówność prawdziwą dla wszystkich zakładanych a, to dowód można uznać. Czytając od tyłu widzimy, że pewne zdanie prawdziwe jest równoważne tezie.

Ktoś: Dokładnie o to chodzilo i sposob rozumiem, ale mam watpliwosci co do tego czy mozna wykorzystac cała teze, przeciez mamy do niej dojsc w obliczeniach/przeksztalceniach

jc: W którym miejscu wykorzystujesz tezę? b=1−a ab = a(1−a) (tu korzystamy z założenia) ab ≤ 1/4 ⇔ a(1−a) ≤ 1/4 ⇔ 4a(1−a) ≤ 1 ⇔ 4a²−4a+1≥0 ⇔ (2a−1)² Można tak, ale ... (nie będę powtarzał słów PW).

Ktoś: A właściwie w tym zadaniu potrzebne jest do czegoś to a>0 i b>0?

PW: Jeżeli jedna z liczb a, b jest dodatnie, a druga ujemna, to nie ma czego dowodzić:

	1
ab<0<		.
	4

Jeżeli obydwie liczby sa ujemne, to nie jest możliwe, żeby a+b=1. Dlatego autor zadania założył, że a>0 i b>0 − żeby dowodzić coś, co nie jest oczywiste.

Ktoś: No w sumie...