ciągi kubek: Ciąg a_n jest określony rekurencyjnie w następujący sposób: a₁ = 3 a_n+1 = a_n+2n+3 dla n≥1 Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych niż 2018. Jak zrobić to zadanie?

aniabb: a₂=3+2+3=8 a₃=8+4+3=15 a₄=15+6+3=24 a₅=24+8+3=35 a_n=(n+1)²−1 i rozwiązujesz (n+1)²−1<2018

kubek: już rozumiem, dzięki!

Adamm: a_n=3+5+7+...+(2(n−1)+3) − suma ciągu arytmetycznego

Mariusz: a₁=3 a_n=a_n−1+2n+1 a_n−1=a_n−2n−1 a₀=3−2−1=0 a₀=0 a_n=a_n−1+2n+1 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞a_n−1xⁿ +∑_n=1^∞(2n+1)xⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ=x(∑_n=1^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=0^∞(2n+1)xⁿ − 1 ∑_n=0^∞a_nxⁿ=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+∑_n=0^∞(2n+1)xⁿ − 1

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	1
∑n=0∞nxn−1=−		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

	2		1
∑n=0∞(2n+1)xn=2(∑n=0∞(n+1)xn)−∑n=0∞xn=		−
	(1−x)2		(1−x)

	2		1
∑n=0∞anxn=x(∑n=0∞anxn)+		−		−1
	(1−x)2		(1−x)

	2		1
A(x)=xA(x)+		−		−1
	(1−x)2		(1−x)

	2		1
A(x)(1−x)=		−		−1
	(1−x)2		(1−x)

	2		1		1
A(x)=		−		−
	(1−x)3		(1−x)2		1−x

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	2
∑n=0∞(n+1)nxn−1=−		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=1∞(n+1)nxn−1=−		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=0∞(n+2)(n+1)xn=
	(1−x)3

A(x)=∑_n=0^∞(n+2)(n+1)xⁿ−∑_n=0^∞(n+1)xⁿ−∑_n=0^∞xⁿ a_n=(n+2)(n+1)−(n+1)−1 a_n=(n+1)(n+2−1)−1 a_n=(n+1)²−1

Mariusz: Aniu twoje spostrzeżenie trzeba było jeszcze uzasadnić np indukcją

aniabb: żeby dalej lubić matematykę to jednak pozostanę abnegatką

Adamm: Moje spostrzeżenie też by trzeba było uzasadnić np. indukcją

Mariusz: Adasiu Ania wypisała cztery wyrazy ciągu i odgadła wzór ciągu i dlatego że to jest zgadywanie trzeba wykazać poprawność odgadniętego wzoru dla każdego naturalnego n Ty natomiast skorzystałeś z tego że sumę ∑_k=1ⁿa_k można zapisać rekurencyjnie S₀=0 S_n=S_n−1+a_n Z tego spostrzeżenia korzystamy np gdy rozwiązujemy równania rekurencyjne czynnikiem sumacyjnym