Objętość z całki podwójnej Eakosen: Znaleźć objętość bryły ograniczonej płaszczyzną Oxy oraz powieszchniami x²+y²−4z²=0 x²+y²−8x=0. Obliczyłem całkę, ale coś mi nie wychodzi, możliwe że źle obliczyłem obszar całkowania.

⎧	−π/2≤Φ≤π/2
⎩	0≤r≤8cosΦ

Eakosen: Mógłby ktoś pomóc?

grzest: Obszar całkowania wyznaczony jest dobrze. Pokaż swoje obliczenia to znajdziemy błąd.

Eakosen: ∫[∫1/2r²−(r²−8rcosΦ)r]drdΦ pierwsza całka granica od −π/2 do π/2 druga całka granica od 0 do 8cosΦ Powiedz tylko, czy dobrze to mam zapisane, jeśli tak to będę szukał błędu w całce. Całka pomnożona już przez jakobian

grzest: Dobrze. Oto moje obliczenia:

	1
V=		∫∫√x2+y2dxdy=
	2

x=rcos φ; y=rsin φ. Jakobian przekształcenia = r.

	1		1		1		1
V=		∫∫√x2+y2dxdy=		∫dφ∫r2dr=		∫dφ		r3|8cos φ0=
	2		2		2		3

	256		256		1		1024
=		∫cos3φdφ=		(sin φ−		sin3φ)|π/2−π/2=		.
	3		3		3		9

Prawdopodobnie zapomniałeś o Jakobianie.

grzest: Niezbyt dobrze przyjrzałem się twoim wynikom. Myślę, że już sobie poradzisz.

Eakosen: Pod całką podwójną nie powinno być √1/2(x²+y²)−(x²+y²−8x)?

grzest: Nie.

	1
Obliczasz całkę podwójną z funkcji z(x,y)=		√x2+y2 (stożek) po obszarze będącym kołem
	2

o równaniu x²+y²−8x=0, z=0. Koło to powstaje z przecięcia walca o równaniu x²+y²−8x=0 z płaszczyzną oxy.

Eakosen: Ale wtedy objętość nie powinna być nieskończona?

grzest: Nie. Narysuj stożek o równaniu x²+y²−4z²=0 i walec x²+y²−8x=0. Oś główna stożka i walca jest równoległa do osi z. Oś walca przesunięta jest wzdłuż osi x o 4 jednostki. Obliczana objętość ograniczona jest "od dołu" przez płaszczyznę Oxy, "od góry" przez powierzchnię stożka przeciętą powierzchnią walca. Jest to objętość skończona.

Eakosen: AA dobra dzięki rozumiem