Dowody Aga: Proszę o pomoc. Wykaż, że średnia arytmetyczna trzech liczb jest większa od ich średniej geometrycznej:

x+y+x
	≥3√xyz x,y,z>0
3

PW: W miarę przystępny dowód dla dowolnej n przy użyciu nierówności Jensena (patrz Wikipedia).

jc: Piękny dowód Cauchy'ego. x,y,z ≥ 0

x+y
	≥ √xy
2

z+u
	≥ √zu
2

x+y+z+u		√xy+√zu
	≥		≥ √√xy √zu = 4√xyzu
4		2

Mamy nierówność dla 4 składników. Podstawiamy u=(x+y+z)/3. u ≥ ⁴√xyzu. Jeśli u=0, to po obu stronach dowodzonej nierówności mamy zero. W przeciwnym wypadku u ≥ ³√xyz, czyli to, o co nam chodzi (spróbuj sam).

PW: Rzeczywiście piękny. Aż się chce powiedzieć wzorem moich uczniów: − A jak ja miałbym na to wpaść? Teraz już wiem, ale raz ktoś musiał to pokazać

jc: Czy na wszystko musimy sami wpadać? Gdyby tak było, nie trzeba by szkół (choć może nie uczenie się jest w szkołach najważniejsze) ani podręczników. Dowód zobaczyłem kiedyś w zbiorze zadań Poyli.

Aga: Dziękuję bardzo. Proszę jeszcze o wyjaśnienie, bo niestety nie potrafię dojść do końca tego dowodu.

	a+b+c
O ile prawa strona mi się zgadza i otrzymuję po podstawieniu U		to po prawej stronie
	3

	a+b+c
mam 4√abc 4√
	3

Czy to ma tak zostać i jest to słuszne, bo jest słuszne dla 4 składników? Czy można skrócić prawą stronę tak aby dostać pierwiastek 3 stopnia Jakoś tego nie widzę, chodzi o prawą stronę ((

Aga: OK, udało mi się, dzięki wielkie!