Równanie z parametrem UczącySię: Dla jakiej wartości parametru a, równanie 3^{(√x −2)} + 3^{(4 − √x)} = a ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. Próbowałem rozwinąć lewą stronę jakoś ale nic to mi nie dało. Proszę o podpowiedź a nie odpowiedź

Basia: x≥0

3√x		34
	+		= a
32		3√x

t=3^√x>0

t		81
	+		= a /*t
9		t

1
	t2 + 81 = a*t
9

1
	*t2 − a*t + 81 = 0
9

musi być: 1. Δ=0 i t₀>0 lub 2. Δ>0 i t₁*t₂<0

UczącySię: A czy to t, nie powinno być tak, że t>=1 ?

Krzysiek60: A czemu tak uwazasz

Basia: powinno; ponieważ x≥0 i √x≥0 ⇒ t=3^√x ≥ 3⁰=1

Basia: Δ=a²−36 b = −a

	−b		a		6*9
dla a=6 t0 =		=		=		= 3*9
	2/9		2/9		2

więc mamy jedno rozwiązanie

	−b		a		−6*9
dla a=−6 t0=		=		=		<0
	2/9		2/9		2

brak rozwiązania jeżeli Δ>0 mamy

	81
t1*t2 =		= 81*9>0
	1/9

t₁ i t₂ mają ten sam znak

	a
dla a∊(−∞;−6) t1+t1=		< 0
	1/9

czyli t₁<0 i t₂<0 czyli brak rozwiązania dla a∊(6;+∞) t₁+t₂ >0 czyli t₁>0 i t₂>0 musi jednak być 0<t₁<1 i t₂≥1 wzory Viete'a chyba nie wystarczą

	a−√a2−36
t1 =		<1
	2/9

	a+√a2−36
t2 =		≥1
	2/9

	2
a − √a2−36<
	9

	2
a −		< √a2−36
	9

	4		4
a2 −		a +		< a2−36
	9		81

	4		4
36+		<		a
	81		9

	4
9*36 +		< 4a
	9

	1
a > 81+
	9

i

	2
a+√a2−36 ≥
	9

	2
√a2+36 ≥		−a
	9

co jest oczywiście prawdą dla każdego a>6 bo prawa strona jest ujemna o ile więc nie pomyliłam się w rachunkach (a za to nie ręczę) dokładnie jedno rozwiązanie mamy dla

	1
a = 6 i dla a>81+
	9