dowód Kamil: Definiujemy rekurencyjnie ciąg za pomocą wzorów: a₀ = a₁ = 1 oraz a_n = a_n−1 + 2a_n−2 dla n > 2. Pokazać, że wszystkie wyrazy ciągu są nieparzyste. Czy w tym zadaniu mogę słownie udowodnić że wszystkie wyrazy są nieparzyste? a₂=1+2*1=3 a₃=3+2=5 ... wiemy że zawsze a_n−1 będzie nieparzysta a 2a_n−2 będzie parzysta. Suma liczby parzystej i nieparzystej daje liczbę nieparzystą, więc wszyskie wyrazy ciągu będą nieparzyste.

Adamm: Formalny dowód chyba powinien być przez indukcję

Kamil: to jakie tu powinno być założenie? że dla k<n a_n−1=2l gdzie l∊Z a_n−2=2j gdzie j∊Z ?

Kamil: zamiast n w indeksie powinno być k

Adamm: a_n=2k_n+1, k_n∊Z ja bym zrobił takie założenie

Adamm:

	(−1)n+2n+1
an=
	3

tak poza tym to tak wygląda nasz ciąg

Kamil: dla k<n an−1=2l+1 gdzie l∊Z an−2=2j+1 gdzie j∊Z Teza a_n=2l+1+2(2j+1)=2l+1+4j+2=2l+4j+2+1=2(l+2j+1)+1 2(l+2j+1)+1 a to jest liczbą nieparzystą. jak myślisz takie coś jest do zaakceptowania?

Adamm: Myślę że jest to poplątanie z pomieszaniem Napisz to tak, żeby ktoś kto nigdy jeszcze tego nie widział, wiedział o co ci chodzi (załóżmy że ten ktoś jest w miarę ogarnięty)

Kamil: Obliczmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu: a₀ = a₁ = 1 a₂=1+2*1=3 a₃=3+2=5 Widzimy że wszystkie wartości są nieparzyste. Załóżmy że dla pewnego k≥0 i k<n: a_k−1=2l+1 gdzie l∊Z a_k−2=2j+1 gdzie j∊Z (czyli wyraz poprzedni i jeszcze poprzedni jest nieparzysty) Dowodzimy równość dla n: a_n=2t+1 gdzie t∊Z Czyli: a_n=2l+1+2(2j+1)=2l+1+4j+2=2l+4j+2+1=2(l+2j+1)+1 2(l+2j+1)+1 jest nieparzyste co kończy dowód na zasadzie indukcji zupełnej

Adamm: bez sensu a_n=a_k−1+2a_k−2 ?

Kamil: czyli w założeniu te k trzeba zamienić na n tak?

Adamm: a₀, a₁ − jakiej są parzystości założenie a_n−2, a_n−1 są nieparzyste, n≥2 twierdzimy że a_n jest nieparzyste a_n=a_n−1+2a_n−2 − a_n nieparzyste jako suma liczby parzystej i nieparzystej co kończy dowód nie ma potrzeby się rozpisywać

Kamil: ok dzięki