Dowód; nierówność; liczby rzeczywiste x,y Konrad: Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x,y prawdziwa jest

	x		y
nierówność (x+1)		+ (y+1)		> 2
	y		x

Witam. Chciałbym zapytać czy moje rozwiązanie tego zadania jest poprawne. Jest to zadanie z matury rozszerzonej z 2014 roku "stara formuła". Na początek wymnożyłem każdą liczbę przez ułamek przy niej stojący i przeniosłem 2 na lewą stronę. Po czym sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika dochodząc do postaci:

x3 + y3 + y +x −2xy
	> 0
xy

x(x2 +1) + y(y2 +1) − 2xy
	> 0
xy

xy(x2 + 1 + y2 + 1 − 2)
	> 0
xy

xy(x2 + y2)
	> 0
xy

Jako że obie liczby x y są rzeczywiste dodatnie to według mnie mój wynik jest poprawny co tłumaczy, że cała liczba >0 A według was ?

Adamm:

x3+y3+y2+x2−2xy
	>0 − tak powinno być
xy

Konrad: Ale powinno byc to znaczy, że to już jest koneic zadania i wystarczy postać podana przez ciebie ?

Adamm: próbowałem ci pokazać gdzie masz błąd

Konrad: Nie było pytania już doszedłem do rozwiązania prościej mnożąc na samym początku 2 przez x i y pozbywając się mianowników, a następnie wymnażając liczby stojące przy nawiasach przez nie dochodząc do wyniku koncowego (x−y)² + y³ + x³ >0 Ale i tak dzięki za pomoc

PW: Mniej skomplikowany dowód:

x2

x

y2

y

x

y

y2

x2

(1)

+

+

+

=

+

+(

+

).

y

y

x

x

y

x

x

y

Pierwsze dwa składniki mają postać

	1
u+		, u>0
	u

i spełniają nierówność

	1
u+		≥2, u>0
	u

(łatwą do udowodnienia przez pokazanie oczywistej nierówności kwadratowej). Dwa pozostałe składniki (1) są dodatnie, co kończy dowód.