największa i najmniejsza wartość funkcji Szczeniak: Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f osiąganą w podanym przedziale <1;3> f(x)=^x₂+²_x

Jerzy: Ustal dziedzinę i policz ekstrema lokalne.

Blee:

x		2		x2+2
	+		=
2		x		2x

f(1) = ... f(3) = ... f'(x) = ... i szukasz ekstremum jeżeli ekstremum wewnątrz badanego przedziału to: f(_x{ekstremum}) = ...

Jerzy:

	1		2
f'(x) =		−
	2		x2

f'(x) = 0 ⇔ x = 2 ( należy do przedziału) lub x = − 2

PW: Można bez pochodnej. Znana jest nierówność: dla u>0

	1
U+		≥2,
	u

przy czym równość ma miejsce tylko dla u=1 (dowód polega na pokazaniu łatwej nierówności kwadratowej).

	x
Podstawiając u=		otrzymamy
	2

	x		2
		+		≥2,
	2		x

	x
przy czym równość ma miejsce tylko dla		=1, czyli dla x=2.
	2

Tak więc f_min=f(2)=2. Skoro jedynym ekstremum funkcji f dla x>0 jest minimum osiągane w punkcie 2, a f jest ciągła na <1, 3>, to osiąga na tym przedziale maksimum w jednym z krańców przedziału.

	1		2		5
f(1)=		+		=
	2		1		2

	3		2		13
f(3)=		+		=
	2		3		6

	5		15		13		5
f(1)=		=		>		=f(3), a więc fmax=f(1)=		.
	2		6		6		2

PW:

daras: a co nt blee

the foxi: PW, kocham Twoje rozwiązania!

PW: Eeee , mam takie hobby, żeby rozwiązywać − tam gdzie się da − metodami elementarnymi.