Zagadnienia początkowe, równanie różniczkowe liniowe niejednorodne SEKS INSTRUKTOR: Rozwiąż równania początkowe i wyznacz rozwiązania podanych zagadnień początkowych y` = (y+1) sint y(to) = yo Rozwiązuję równanie różniczkowe za pomoca czynnika całkującego y` = ysint +sint y` − ysint =sint / :sint

y`
	− y = 1
sint

czynnikiem całkującym jest więc e^−t

y`
	* e−t − y *e−t = e−t
sint

Całkuję obustronnie i mam :

e−t
	* y = ∫ e−t dt
sint

e−t
	* y = −e−t +C / :e−t
sint

y		C
	= −1 +
sint		e−t

	C
y = sint * (		−1)
	e−t

co dalej powinienem zrobić? Za każdego y podstawić yo, a za każde t podstawić to i wyznaczyć yo ?

SEKS INSTRUKTOR: Poprawna treść polecenia : Wyznacz rozwiązania podanych zagadnień początkowych oraz przedziały, na których są określone

Adam: czynnik całkujący źle To jest równanie o zmiennych rozdzielonych Sprawdź jak takie równania się rozwiązuje

jc: Podpowiem, (y e^{cos t})' = ...

SEKS INSTRUKTOR: już całkiem się zgubilem i nie wiem czemu nie można tego w ten sposób rozwiązać, można prosić o jakieś wyjaśnienie?

jc: Dlaczego "czynnikiem całkującym jest więc e{−t}" ? Napisałem, jak liczyć. (y e^{cos t})' = (y' − y sin t) e^{cos t} = (sin t) e^{cos t} = − (e^{cos t})' y e^{cos t} = C − e^{cos t} y = −1 + C e^{−cos t}

SEKS INSTRUKTOR: Czyli Adam mówi źle i normalnie można je rozwiązać za pomocą czynnika całkującego którym jest e^cost ? A czemu moje rozwiązanie nie jest poprawne?

Adamm: Adam, przepraszam cię bardzo, nie mówi źle Nic nie mówiłem o czynniku całkującym, i że nie można tego równania za pomocą tej metody rozwiązać!

SEKS INSTRUKTOR: Czyli normalnie można:

	dy
p(y) *		= q(t)
	dt

tutaj jest y` = (y+1)sint czyli

dy
	= ysint +sint / *dt
dt

dy = ysint dt + sint dt /y

	1		sint
∫		dy = ∫ sint dt + ∫		dt
	y		y

i znów się coś nie zgadza, mam y po prawej stronie. Jedyną metodą jest metoda jc? Trochę ciężko na nią wpaść, jeśli nie jest się w tym biegłym.

Adamm: czy ty to robisz specjalnie, czy po prostu potrzebujesz przykładu? nie, nie jest to jedyna metoda

SEKS INSTRUKTOR: naprawdę, nie rozumiem... Nawet nie widzę, co źle zrobiłem, bo po twojej wypowiedzi tak wnioskuję, że coś znów jest źle. Mógłbyś mi to jakoś prosto rozpisać? Nie widzę tego, a nad przykładem trochę siedzę.

Adamm: y'=(y+1)sint

1
	*y'=sint (zał. y≠−1, dla y=−1 mamy również rozwiązanie)
y+1

	1
∫		dy=∫sint dt
	y+1

ln|y+1|=−cost+C y+1=e^−cost+C y+1=C₀*e^−cost y=−1+C₀*e^−cost

SEKS INSTRUKTOR: chyba, że U {dy}[dt * (y+1)} = sint / *dt

1
	dy = sint dt
y+1

po scalkowaniu ln|y+1| = −cost +C y+1 = e^−cost +C y = e^−cost −1 +C

Adamm: masz tutaj pokazaną metodę z rozdzielaniem zmiennych metodę możesz użyć, jak możesz sobie rozdzielić na jednej stronie równania same igreki, i to wszystko razy pochodna, a po drugiej same iksy tak jak to tutaj miało miejsce rozumiesz? warto czasami zauważyć że równanie jest o rozdzielonych zmiennych, bo metoda postępowania jest prosta

SEKS INSTRUKTOR: wyprzedziles mnie. Czyli jednak wszystko jasne, jestem imbecylem

SEKS INSTRUKTOR: i dla zagadnień początkowych za y wstawiam yo, a za t wstawiam to i wyznaczam C, tak?

Adamm: tak, jak masz podany warunek, to się nazywa warunkiem Cauchy'ego tak na marginesie

SEKS INSTRUKTOR: dzięki za pomoc, będę jeszcze męczył jakimiś przykładami na pewno dziś wieczorem

SEKS INSTRUKTOR: jeszcze jedno − dla pewności równanie ty` +y = t+1 / :t czyli jest to równanie liniowe

	1		t+1
y` +		*y =
	t		t

i czynnikiem całkującym jest e^ln|t| czyli |t| ?

Adamm: wartość bezwzględna niepotrzebna, t po prostu

SEKS INSTRUKTOR: dziękuję )