graniaca funkcji 793: Posługując się definicją granicy funkcji wykazać, że:

	3x+1		1
limx→2		=
	5x+4		2

Basia:

	3x+1		1		2(3x+1)−1*(5x+4)
|		−		| < ε ⇔ |		| < ε ⇔
	5x+4		2		2(5x+4)

	6x+2−5x−4		x−2
|		| < ε ⇔ |		< ε
	2(5x+4)		2(5x+4)

istnieje takie otoczenie x₀=2, w którym 5x+4>4; na przykład dla x∊(0;4) mamy 5x+4∊(4;24) wobec tego

	x−2		|x−2|
|		| <
	2(5x+4)		8

i wystarcza aby

|x−2|
	< ε ⇔ |x−2| < 8ε ⇔ −8ε < x−2 < 8ε ⇔ 2−8ε < x < 2+8ε
8

czyli

	3x+1		1
∀ε>0 ∃δ=8ε ∀x∊(2−δ; 2+δ) |		−		| < ε ⇔
	5x+4		2

	3x+1		1
limx→2		=
	5x+4		2