StudenciakWpotrzebie Algebra: Jak wykażać, że zbiór X= {X∊R² : x₁ = 4} nie jest podprzestrzenią przestrzeni R²? Proszę o pomoc.

PW: Nie jest, bo nie zawiera elementu neutralnego dodawania.

Algebra: Mógłbyś wytłumaczyć?

PW: Jeżeli zbiór jest podprzestrzenią, to zawiera element neutralny dodawania. Jeżeli nie zawiera elementu neutralnego, to nie jest podprzestrzenią. Element neutralny to (0,0) − jego pierwsza współrzędna nie jest równa 4, a więc (0,0) nie należy do X.

Algebra: Dziękuję bardzo! A algebraicznie można to jakoś udowodnić?

PW: Nie wiem co to znaczy w tym wypadku "algebraicznie". Definicja podprzestrzeni jest nieskomplikowana − to też musi być przestrzeń liniowa (musi spełniać te same warunki co przestrzeń liniowa). Skoro tak, to patrzymy na definicję − jest tam między innymi warunek istnienia elementu neutralnego.