Przekrzywiona elipsa Alicja: Mam równanie elipsy: (x−y)²+4(x+y)²=1 Jak na podstawie tego mogę obliczyć a, b oraz kąt φ? Rysunek wizualizacyjny https://i.stack.imgur.com/OxcCV.png

grzest: (x−y)²+4(x+y)²=1 Po wymnożeniu i uporządkowaniu mamy: 5x²+6xy+5y⁼1 Aby pozbyć się czynnika 6xy, obracamy osie układu współrzędnych o kąt:

	a−c
ctg 2θ =		, gdzie a=5, 2b=6, c=5.
	2b

	π
ctg 2θ = 0 ⇒ θ=		.
	4

	√2
x =		(x'−y'),
	2

	√2
y =		(x'+y').
	2

W nowych współrzędnych elipsa ma postać: 8x'²+2y'²=1. Stąd mamy półosie elipsy:

	1		1		π
a=		, b=		, kąt obrotu θ=		.
	√8		√2		4

jc: Od razu widać, że to elipsa obrócona o 45 stopni.

	x−y
x'=
	√2

	x+y
y'=
	√2

2x'²+8y'²=1 a=1/√2, b=1/√8

grzest: @jc Przy twoich oznaczeniach obracasz elipsę o kąt −45⁰ a nie o 45, jak piszesz.

jc: Grzest, masz rację −45^o. Ale za to tradycyjnie, literą a oznaczyłem dłuższą półoś, a litrą b krótszą. Chodziło o to, że od razu było widać, że mamy obróconą elipsę, tak jak tu x+y=(x−y)² od razu widać obróconą parabolę.

grzest: OK.

Alicja: A skąd się to wzięło 8x'²+2y'²=1.

grzest: No podstaw do wzoru elipsy 5x²+6xy+5^y=1 ub do tego wyjściowego, wyrażenia

	√2
x =		(x'−y')
	2

	√2
y =		(x'+y').
	2