Wyznacz parametr a Kasia: wyznacz wszystkie wartości parametru a dla których równanie 3x⁵−5x³+a=0 ma dokładnie dwa pierwiastki. Pomocy nie wiem w ogóle jak zacząć takie zadanie, skoro jest tam x⁵

the foxi: 3x⁵−5x³=−a ja bym narysował wykres f(x)=3x⁵−5x³ i zauważył że prosta y=−a przecina wykres f(x) w dokładnie dwóch punktach, gdy −a=−2 oraz −a=2

Kasia: 1. W jaki sposób narysować wykres 3x⁵−5x³? 2. I czy jest jakis sposób bez wykresu? Wydaje mi sie, ze moze coś z pochodnymi, ale nie bardzo widzę powiązanie. Zgaduje na podstawie x⁵

the foxi: To zadanie raczej jest zrobione z myślą o użyciu pochodnej f'(x)=15x⁴−15x²=15x²(x²−1)=15x²(x−1)(x+1) pochodna zeruje się tylko dla x=1 oraz x=1 funkcja przyjmuje dla tych argumentów wartości 2 oraz −2

the foxi: zeruje się również dla x=0, ale tam nie zmienia znaku, więc nie mamy tam ekstremum

the foxi: widać delikatne spłaszczenie w okolicy zera

Kasia: Nie wiem czy to pozna pora, ale nie rozumiem dlaczego liczymy miejsca zerowe pochodnej?

Kasia: Znaczy sie ok, miejsca zerowe by miec ekstrema, tylko skad wiadomo, ze w ekstremach a przyjmuje taka wartosc, ze sa dokladnie dwa miejsca zerowe?

%: w x=0 jest punkt przegięcia nie ma ekstremum

Kasia: Tylko skad wiadomo, ze w ekstremach a przyjmuje taka wartosc, ze sa dwa miejsca zerowe? Nie rozumiem tego powiazania

the foxi: 3x⁵−5x³+a=0 ⇔ 3x⁵−5x³=−a po lewej stronie równania masz funkcję wielomianową po prawej prostą równoległą do osi OX y=−a musisz znaleźć takie wartości −a dla których przecina ona wykres funkcji w 2 miejscach a czemu w ekstremach? to wniosek wynikający z rysunku

the foxi: % fajnie pokazał że przecina wykres tylko w miejscach gdzie ma ekstrema

the foxi: przecina dwa razy*