Równanie trygonometryczne 6607: Mam problem z równaniem: sin5x+sinx=0 Ponieważ wychodzą mi absurdalne wyniki. Czy ktoś mógłby rozpisać dla mnie co i jak?

Basia:

	5x+x		5x−x
2sin		*cos		=0
	2		2

2sin(3x)*cos(2x)=0 sin(3x)=0 ∨ cos(2x)=0

	π
3x = 0+kπ ∨ 2x =		+kπ
	2

	kπ		π		kπ
x =		∨ x =		+		gdzie k−dowolna liczba całkowita
	3		4		2

Eta: Można też tak: sin5x= sin(−x) 5x= −x+2kπ v 5x= π+x+2kπ 6x=2kπ v 4x= π+2kπ x= k*π/3 v x= π/4 + (kπ/2) , k∊C ===========================

6607: Chyba zrobiłem coś naprawdę abstrakcyjnego... Przy sin(3x)=0 dalej postąpiłem tak: sin(2x+x)=0 sin2x*cosx+cos2x*sinx=0 [to było ze wzroru na sin(x+y)] 2sinx*cos²x+(2cos²x−1)*sinx=0 2sinx*cos²x+2sinx*cos²x−sinx=0 sinx(4cos²x−1)=0 sinx=0 i 4cos²x=1

	1		1
sinx=0 i cosx=		lub cosx=−
	2		2

Podczas gdy z cos(2x)=0 wyszło mi: 2cos²x−1=0 2cos²x=1

	1
cos2x=
	2

	√2		√2
cosx=		lub cosx=−
	2		2

	π		π		π
I na podstawie tego uznałem, że x=πk lub x=		+πk lub x=−		+πk lub x=		+πk lub
	3		3		4

	π
x=−		+πk
	4

Moglibyście mi wytłumaczyć czemu to jest źle?

Basia: nie jest źle to tylko inny zapis pierwsze czyli sin(3x)=0 sinx = 0 ⇔ x=kπ

	1		π		π
cosx =		⇔ x=		+2kπ lub x = −		+2kπ
	2		3		3

	1		2π		2π
cosx = −		⇔ x=		+2kπ lub x= −		+2kπ
	2		3		3

co daje się zapisać tak jak napisałeś czyli

	π		π
x=πk lub x=		+kπ lub x=−		+kπ
	3		3

	mπ
zauważ teraz, że wszystkie te wyniki można opisać jednym: x=
	3

dla m=3k dostajesz x=kπ

	π
dla m=3k+1 dostajesz x=		+kπ
	3

dla m= 3n+2=3k−1 dostajesz x= −U{π}[3}+kπ nic więcej, nic mniej w drugim czyli cos(2x) = 0 masz podobnie

	π		π		3π		3π
x =		+2kπ lub x=−		+2kπ lub x=		+2kπ lub x=−		+2kπ
	4		4		4		4

co daje się zapisać tak jak napisałeś czyli

	π		π+4kπ		(4k+1)π
x =		+kπ =		=
	4		4		4

lub

	π		−π+4kπ		(4k−1)π
x = −		+kπ =		=
	4		4		4

	π
czyli masz te wielokrotności		, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1 lub resztę 3
	4

	π
czyli nieparzyste wielokrotności
	4

zapis

	π		kπ		π+2kπ		(2k+1)π
x =		+		=		=
	4		2		4		4

to dokładnie to samo

6607: Teraz to widzę Dziękuję z całego serca