Prawdopodobieństwo Bartek: Dzielimy losowo 16 identycznych ciastek między 4 osoby (zakładamy że wszystkie różne podziały są jednakowo prawdopodobne). Oblicz prawdopodobieństwo że: A − każda osoba dostanie 4 ciastka B − każda osoba dostanie przynajmniej 3 ciastka C − któraś osoba nie dostanie żadnego ciastka.

	16+4−1 16		19 16
Więc tak, jako że ciastka są nierozróżnialne a osoby tak to Ω =		=		= 969

A − każda osoba dostanie 4 ciastka. Wydaje mi się, że najpierw każdemu dajemy po 4 ciastka, nie są rozróżnialne więc nie liczymy kto które dostał. Pozostaje ciastek 0 których tak to nie możemy rozdać, więc moc A = 1? Wtedy P(A) = 1/969 ? B − każda dostanie przynajmniej 3 ciastka. Tak więc każdemu rozdaje po 3 ciastka, zostają 4 ciastka do rozdania 4 osobom.

	4+4−1 4		7 4
Rozdać te ciastka mogę na jeden sposób czyli		=		Wtedy P(B) = 35/969 ?

C − któraś nie dostanie ciastka. Wtedy uznaje że rozdaje ciastka dla 3 osób, a nie dla 4, tak?

	16+3−1 16		18 16
Wtedy moc C =		=		= 153, wtedy P(C) = 153/969

Czy dobrze to rozmyśliłem? Pozdrawiam

Mila: Dobrze. x₁+x₂+x₃+x₄=16 i 0≤x_i≤16 1) Liczba rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych:

	16+4−1 4−1		19 3		1
|Ω|=		=		=		*19*18*17=19*3*17=969
					6

a) x₁+x₂+x₃+x₄=16−4*4 Liczba rozwiązań − 1

	1
P(A)=
	969

b) x₁+x₂+x₃+x₄=16−4*3 x₁+x₂+x₃+x₄=4

	4+4−1 4−1		7 3
|B|=		=		=35

	35
P(B)=
	969

C) To zrobiłabym tak, zakładam, że tylko jedna nie dostaje. Jedna osoba nie dostaje ,każda z pozostałych 3 osób dostaje przynajmniej jedno x₁+x₂+x₃=16−3*1

4 1		13+3−1 3−1		15 2
	*		=4*		=420

Przemyśl.

Pytający: C − któraś osoba nie dostanie żadnego ciastka C' − każda osoba dostanie przynajmniej 1 ciastko

	(16−4*1)+4−1 4−1		15 3
|C|=|Ω|−|C'|=969−		=969−		=969−455=514

Bartek: Dziękuje Mila za pomoc

Bartek: Co do podpunktu C)

	4 1		15 2
To na pewno będzie		*		? Ciastka są nierozróżnialne to nie będzie że na jeden

sposób je rozdzielamy?

	15 2
Czyli 1 *		nie będzie poprawną odpowiedzią?

Poproszę o wytłumaczenie

PW: Trzeba zdecydować, która z 4 osób nie dostanie ciastek (a można to zrobić na 4 sposoby − kto

	4 1
lubi takie bardzo formalne zapisy, powie że na		sposoby).

Bartek: Dziękuje

Bartek: Jeszcze mam pytanie ale o inne zadanie, polecenie: Do windy zatrzymującej się na 4 piętrach wsiada 20 osób (na poziomie zerowym, każda losowo wybiera piętro na którym wysiądzie) A − na pierwszym piętrze nikt nie wysiądzie B − Wszyscy wysiądą na tym samym piętrze C − Na każdym piętrze wysiądzie dokładnie 5 osób. Ω = 4²⁰ A − tutaj uznaje że tak to pięter jest 3? Zamiast pierwszego piętra mogłoby być dowolnie drugie/trzecie/czwarte? Wtedy A = 3²⁰? P(A) = 3²⁰ / 4²⁰ ? B − Tutaj mam dylemat. Czy uznać że jest tylko jedno piętro? Czyli 1²⁰? Czy jedno z czterech czyli 4 * 1²⁰?

	4 1
Czy w sposób że jedno z czterech jako		?

C − Mamy cztery piętra więc na pierwszym wysiada 5 osób z 20, na drugim 5 z 15 itd czyli:

20 5		15 5		5 5
	*		* ... *		?

Pytający: Co do C, na pewno jest tak jak napisałem. Ewentualnie można to samo policzyć metodą włączania i wyłączania:

	4 3
|któraś osoba nie dostanie żadnego ciastka|=		*|podziały między 3 osoby|−

	4 2		4 1
−		*|podziały między 2 osoby|+		*|podziały między 1 osobę|

Czyli:

	4 3	16+3−1 3−1		4 2	16+2−1 2−1		4 1	16+1−1 1−1
|C|=			−			+			=514

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D1..3+of+(-1)%5E(k%2B1)*binomial(4,4-k)*binomial(16%2B4-k-1,4-k-1) A jeśli nie wierzysz, masz wypisanie wszystkich 514 przypadków: https://ideone.com/B2pa5C

aniabb: A) ale wyraźnie napisano na [p[pierwszym] nikt B) dowolne

Bartek: Pytający − wieczorkiem przeanalizuje to co napisałeś, dziękuje za włącznie się do wątku. Co do zadania II i podpunktu A) aniabb napisała że wyraźnie napisano iż na pierwszym piętrze nikt, więc w liczeniu jaka jest różnica że np na drugim nikt nie wysiądzie? Jak policzyć tak to ten podpunkt?

aniabb: tak jak policzyłeś ... masz pozostałe trzy do wyboru

aniabb: jak napiszą ze na drugim to tak samo.. będą trzy do wyboru