trójkat jolka : Trójkąt ABC ma kat prost przy wierchołku B. Dwusieczne kątów CAB oraz ACB są odpowiednio równe 9 oraz 8√2 .Wyznaczyc AC=?

pomoc drogowa:

	α		|BC|
cos		=
	2		9

	|BC|
cosα =
	|AC|

	β		|AB|
cos		=
	2		8√2

	|AB|
cosβ =
	|AC|

oraz α+β=90^o wyliczamy |AC| z obu proporcji:

	α   9cos   2
|AC| =
	cosα

	β   8√2cos   2
|AC| =
	cosβ

cosβ = cos(90^o−α)=sinα

	α   8√2sin   2
|AC| =
	sinα

	α   8√2sin   2
|AC| =
	α   α   2sin cos   2   2

	4√2
|AC| =
	α   cos   2

Porównujemy 2 równania ze sobą:

α   9cos   2		4√2
	=
cosα		α   cos   2

	9		9√2
cosα =		=
	4√2		8

	α
musimy jeszcze wyznaczyć cos		,aby wyliczyć odcinek |AC|
	2

	α		9√2
cosα = 2cos2		− 1 =
	2		8

	α		√9√2+8
cos		=
	2		4

Należy wyliczyć podstawiając do wzoru odcinek |AC|:

	α   9cos   2		9*√9√2+8		8
|AC| =		=		*		= √2*√9√2+8
	cosα		4		9√2

Jeśli się gdzieś nie machnąłem w obliczeniach to powinno być ok.

Mila: Pomysł dobry, ale na pewno masz pomyłkę, bo cosα>1.

Mila: A może dane są inne. Bardzo to irytujące, gdy ktoś wrzuci zadanie i nie ma z tą osobą kontaktu. Pomoc drogowa napracowała się, a odzewu nie ma.

pomoc drogowa: Powiem Ci, że przepatrzyłem jeszcze raz to zadanie, zrobiłem od nowa, no i wychodzi to samo ... Nie mam naprawdę pojęcia, gdzie może tkwić błąd, ale masz rację, że ten błąd jest, gdyż cosα wychodzi większy od 1 Ciekawe... Próbowałem nawet w Cadzie wyrysować taki trójkąt podobny, to z "najdoskonalszego" rysunku jaki udało mi się wykonać otrzymałem kąty 52∼53^o oraz 38∼37^o. Ale, gdzie popełniam błąd w obliczeniach, nie wiem

Mila: Też liczyłam, ale wychodzi mi sprzeczność. Szkoda, że nie wiemy z jakiego to zbioru, można by sprawdzić treść. Często są wpisywane zadania z błędami. Zadanie jest ciekawe.

Mila: Miło, że Ty zareagowałeś

pomoc drogowa: Z tego co sprawdzałem na exelu to wyszło mi takie coś: cosβ = sinα na przykładzie kąta α=53^o i β=37^o ale już

	β		α
cos		≠ sin
	2		2

I chyba tutaj tkwi problem. Ja już dziś wymiękam, jakby ktoś miał ochotę to mógłby pogłówkować, a jak coś to jutro postaram się to rozkminić. Dobrej nocki wszystkim

Mila: α+β=90

α		β
	+		=45o
2		2

	β		α
To jest oczywiste, że cos		≠sin		bo suma tych kątów wynosi 45o.
	2		2

Czy masz oryginalną treść tego zadania, czy tylko tę z forum? Dobranoc

pomoc drogowa: Niestety nie posiadam oryginalnej treści, jedynie jolka wie czy ta treść jest poprawna. Poprawiamy to co było źle:

α		β
	+		= 45o
2		2

β		α
	= 45o −
2		2

	β		α		π		α
czyli cos(		) = cos(45o −		) = cos(		−		)
	2		2		4		2

Korzystam ze wzoru na różnicę kątów:

π

α

π

α

π

α

cos(

−

) = cos

cos

+ sin

sin

=

4

2

4

2

4

2

√2

α

√2

α

√2

α

α

=

cos

+

sin

=

(cos

+ sin

)

2

2

2

2

2

2

2

Wracamy do podstawienia do zadania:

	β   8√2cos   2		√2   α   α   8√2* (cos + sin )   2   2   2
|AC| =		=
	cosβ		sinα

	α   α   8(cos + sin )   2   2
|AC| =
	sinα

Porównujemy oba wzory z długością |AC| :

α   9cos   2		α   α   8(cos + sin )   2   2
	=
cosα		sinα

	α		α		α
8(cos		+ sin		)cosα = 9cos		sinα / :8cosα
	2		2		2

α

α

9

α

sinα

α

cos

+ sin

=

cos

*

/ : cos

2

2

8

2

cosα

2

	α   sin   2		9		sinα
1 +		=		*
	α   cos   2		8		cosα

	α		9
1 + tg		=		tgα
	2		8

Korzystam ze wzoru:

	α   2tg   2
tgα =
	α   1−tg2   2

	α		9		α   2tg   2
1 + tg		=		*
	2		8		α   1−tg2   2

	α		9		α   2tg   2
1 + tg		=		*
	2		8		α   α   (1+tg )(1−tg )   2   2

	α		9		α
1−tg		=		tg
	2		4		2

13		α
	tg		= 1
4		2

	α		4
tg		=		= 0,3077
	2		13

α
	≈ 17o
2

α ≈ 34^o β ≈ 56^o Dochodzimy do sedna zadania czyli wyliczenia długości odcinka |AC|:

	α   9cos   2		9cos17o		9*0,9563
|AC| =		=		≈		≈ 10,38
	cosα		cos34o		0,8290

Dla sprawdzenia:

	β   8√2cos   2		8√2cos28o		8√2*0,8829
|AC| =		=		≈		≈ 17,81
	cosβ		cos56o		0,5592

I tutaj znowu dochodzimy do kolejnej sprzeczności. Nie wiem czy znowu gdzieś pomyliłem się, czy naprawdę dane mogą być źle przepisane. Jeśli byłby ktoś chętny to sprawdzić, to byłbym wdzięczny, bo bardzo mnie nurtuje to zadanie. Życzę miłego dnia

aniabb: http://prntscr.com/j2emjx

aniabb: nie doczytałam ze macie już obrazek

pomoc drogowa: Dobra kończymy to zadanie Błąd popełniony został w linijce:

	α		9		α   2 tg   2
1+ tg		=		*
	2		8		α   α   (1+tg )(1−tg )   2   2

Poprawnie:

	α		α		9		α
(1+ tg		)2(1−tg		) =		* 2 tg
	2		2		8		2

	α
Dla przejrzystości podstawiam tg		= t
	2

	9
(1+t)2(1−t) =		t
	4

	9
1+t−t2−t3 =		t
	4

	5
t3 + t2 +		t − 1 = 0
	4

	1
W(		) = 0
	2

	1		3
(t−		)(t2 +		t + 2) = 0
	2		2

	3
t2 +		t + 2 > 0
	2

czyli:

	1
t =
	2

	α		1
tg		=
	2		2

α
	≈ 27o
2

α ≈ 54^o β ≈ 36^o Sprawdzenie:

	α   9cos   2		9*0,8910
|AC| =		=		≈ 13,64
	cosα		0,5878

	β   8√2cos   2		8√2*0,9510
|AC| =		=		≈ 13,30
	cosβ		0,8090

Myślę, że takie przybliżenie jest akceptowalne, dlatego, iż przybliżenie kąta do pełnych wartości spowodowało zmiany w wartości cos kątów. Życzę wszystkim miłej niedzieli