Oblicz minimum lokalne funkcji(x,y)
dorota o : Wykaż gdzie funkcja f(x,y)= −x2+2xy−2y2−2y+1 ma minimum lokalne.
8 lut 18:01
dorota o : ponawiam pytanie!
8 lut 19:05
dorota o : MOgę kogoś pomocnego prosić o wyliczenie?
8 lut 19:59
DarekS: Warunek konieczny: czyli nie wdając się w szczegóły musi istnieć taki punkt (x0,y0) dla
którego:
f'x(x0,y0) = 0
f'y(x0,y0) = 0
gdzie fx(x,y) − pochodna cząstkowa po zmiennej x, fy(x,y) − pochodna cząstkowa po zmiennej y
Obliczam pochodne cząstkowe:
f'x(x,y) = −2x + 2y
f'y(x,y)= 2x − 4y − 2
Liczę punkt (x0,y0):
−2x + 2y = 0
2x − 4y − 2 = 0
Rozwianie:
x0 = −1 i y0 = −1
Warunek wystarczający:
f''xx(x0,y0) * f''yy(x0,y0) − f''xy(x0,y0) * f''yx(x0,y0) > 0
gdzie f''xx − pochodna cząstkowa drugiego rzędu po x, itd
Liczmy pochodne:
f''xx(x,y) = −2
f''yy(x,y) = −4
f''xy(x,y) = 2
f''yx(x,y) = 2
Jak widać, pochodne cząstkowe drugiego rzędu są funkcjami stałymi. Obliczamy nierówność:
−2 * (−4) − 2 * 2 = 4 > 0
Czyli funkcja ma ekstremum.
Jeżeli f''xx(x,y) > 0 to ma minimum, f''xx(x,y) < 0 to ma maksimum.
f''xx(x,y) = −2 Więc funkcja ma w (−1,−1) maksimum
8 lut 20:07
dorota o : ok, nie rozumie jak liczę punkt(x0, y0) ?
8 lut 20:26
DarekS: (x
0,y
0) jest rozwiązaniem układ równań
−2x + 2y = 0 i 2x − 4y − 2 = 0
Niestety nie mam możliwości zrobienia tutaj z jednej strony klamerki
8 lut 20:31
dorota o : Dziękuje Darek, to wystarczyło, układzik potrafię na szczęście ufff rozwiązać
8 lut 20:35