... student: Oblicz całkę ∫√16x√1+16x dx

M:

Mariusz: Nikt wtedy nie odpowiedział ∫√16x√1+16xdx = 4∫√x√1+16xdx Taka postać narzucałaby trzecie podstawienie Eulera ale pierwsze będzie wymagało mniej obliczeń 4∫√16x²+xdx √16x²+x = t − 4x 16x²+x = t²−8xt+16x² x = t²−8xt x+8xt = t² x(1+8t) = t²

	t2
x =
	1+8t

	t2
√16x2+x = t − 4
	1+8t

	t+8t2−4t2
√16x2+x =
	1+8t

	t+4t2
√16x2+x =
	1+8t

	2t(1+8t) − 8t2
dx =		dt
	(1+8t)2

	4t2+t
dx = 2		dt
	(1+8t)2

	t+4t2		4t2+t
4∫		2		dt
	1+8t		(1+8t)2

	(4t2+t)2
8∫		dt
	(1+8t)3

Tutaj proponuję przedstawić licznik jako sumę potęg dwumianu (1+8t) wtedy będzie można ułamek rozdzielić na takie ułamki aby licznik skrócił się z mianownikiem Rozkład taki można uzyskać stosując wielokrotnie schemat Hornera