Funkcja kwadratowa maturka: Równanie x²−(a+b+c)x+ab+ac+bc=0 nie ma rozwiązań oraz a+b+c>0. Pokaż że a)a,b,c są dodatnie b) z odcinków √a,√b, √c można zbudować trójkąt.

DM: jeśli nie ma rozwiązań to: Δ < 0 czyli: (a+b+c)² − 4*1*(ab+ac+bc) < 0 ...żmudne obliczenia... (a−b−c)² < 0 No sam jestem ciekaw rozwiązania

maturka: I jak wywnioskować że a, b, c są dodatnie

Jack: Δ < 0 (a+b+c)² − 4(ab+ac+bc) < 0 a²+b²+c² + 2ab+2ac+2bc − 4ab−4ac−4bc <0 a²+b²+c² − 2ab−2ac−2bc < 0 (a−b−c)² − 4bc < 0 to co napisal kolega wyzej zatem nie jest prawda.

DM: a no tak, pomyliłem znak przy jednym wyrażeniu

maturka: A jak dalej to rozwiązać?

Adamm: Tak jak Jack napisał. 1. jedna z nich jest niedodatnia, reszta jest dodatnia, na przykład c (to samo dla a i b) Wtedy mamy 0≥4bc>(a−b−c)²>0 więc 0>0, sprzeczność. 2. dwie z nich są niedodatnie, jedna dodatnia, na przykład a i c Wtedy tak samo jak w 1 3. wszystkie są niedodatnie Wtedy 0<a+b+c≤0, sprzeczność.

maturka: A jak będzie jak b i c dodatnie a a ujemne?

maturka:

jc: (a−b−c)² − 4bc < 0 bc > 0, podobnie ab >0 i ca > 0 Wniosek a,b,c > 0 lub a,b,c < 0. Drugą możliwość odrzucamy bo a+b+c > 0. (a−b−c)²−4bc = (a−b−c−2√bc)(a−b−c+2√bc)=[a−(√b+√c)²][a−(√b−√c)²] =(√a+√b+√c)(√a−√b−√c)(√a+√b−√c)(√a−√b+√c) < 0 Wniosek. Iloczyn czynników √a+√b−√c √a+√c−√b √b+√c−√c jest dodatni. Załóżmy, że jakieś 2 czynniki są ujemne, np. I i II. Wtedy ich suma też jest ujemna, Ale suma to 2√a i jest dodatnia. Zatem wszystkie 3 czynniki są dodatnie, co oznacza, że z liczby √a, √b, √c mogą być długościami boków trójkąta.

maturka: Nie rozumiem już od samego początku jak wykazałes a, b, c są dodatnie, skąd taki wniosek?

jc: Zacząłem od nierówności z 20:25 (a−b−c)² − 4bc < 0 0 ≤ (a−b−c)² < 4bc Czyli iloczyn bc jest dodatni. Litery a,b,c występują w zadaniu symetrycznie. Dlatego iloczyny ac i ab też są dodatnie. Gdyby a było ujemne, to również b i c byłyby ujemne. Ale wtedy suma a+b+c wbrew założeniu byłaby ujemna. Dlatego a>0 i podobnie b>0 i c>0.

maturka: Nie rozumiem czemu ac i ab są dodatnie?

jc: 0 > Δ=(a+b+c)2 − 4(ab+ac+bc) = (a+b−c)²−4ab = (b+c−a)²−4bc = (c+a−b)²−4ac Dlatego ab > 0, bc >0, ca >0. W przeciwnym wypadku Δ≥0.

maturka: Dziękuję teraz jasne ale nie rozumiem teraz wniosku do podpunkt b

jc: Wiesz już, że a,b,c > 0. Można więc pierwiastkować a,b,c. Dalej pokazuję, jak Δ zapisać w postaci 4 czynników. Δ = (a+b−c)²−4ab = (a+b−c)²−(2√ab)² =(a+b−c−2√ab)(a+b−c+2√ab) = [(√a−√b)²−c][(√a+√b)²−c] = (√a−√b−√c) (√a−√b+√c)(√a+√b−√c)(√a+√b+√c) = −(−√a+√b+√c)(√a−√b+√c)(√a+√b−√c)(√a+√b+√c) Ostatni czynnik jest dodatni. Załóżmy, że jakieś 2 inne czynniki, np. pierwszy i drugi, są ujemne −√a+√b+√c < 0 √a−√b+√c < 0 Dodając otrzymujemy sprzeczność: 2√c < 0. Zatem wszystkie 4 czynniki są dodatnie.

maturka: Dziękuję