rachunek różniczkowy aksjomat XXVIII mok3: witajcie, mam problem z 3 zadaniami: 1) jeśli dla pewnych liczb a < b < c pochodna funkcji f jest równa f'(x) = (x−a)(x−b)(x−c) to funkcja f: A) jest wielomianem 5 stopnia (nie,bo 3, więc A odpada) B) jest rosnąca w zbiorze <a,b> u <c, +∞) C) ma maksimum lokalne w punkcie x=b D) ma 2 ekstrema lokalne (nie,bo 3, D odpada) Pasuje mi i b i c, a poprawną odpowiedź to tylko c. 2) Funckja f: R−> R jest różniczkowalna oraz a<b. Jeśli f(a) < f(b), to A) f'(a) < f'(b) B) ^f(a)−f(b)_a−b >0 C) istnieje liczba c należąca do (a,b) taka, że f'(c) = 0 D) ^f(a)−f(b)_a−b < 0 nie mam pojecia jak za to sie zabrac Poprawna odpowiedz B 3) Niech funckja f(x) = |x|. Funkcja f A) jest różniczkowalna w x=0 nie bo granica lewostronna nie rowna sie granicy prawostronnej B) jest malejąca w przedziale <0, + ∞) nie, bo rosnaca C) ma ekstremum lokalne w x=0 \wedlug mnie nie, bo ten punkt nie jest rozniczkowalny ? D) nie ma granicy w punkcie x=0 Poprawna odpowiedz C, to błąd w odpowiedziach, czy zle kombinuje?

ICSP: 1) A − IV stopnia Poprawne B i C 2) a < b i f(a) < f(b) ⇒ b − a > 0 i f(b) − f(a) > 0. Poprawna B) 3) Ekstremum nie wymaga różniczkowalności (przypomnij sobie jego definicje) Poprawna C)

ICSP: Uwaga do 2) f(x) = x³ dla a = −1 < c = 0 < b = 1 f(−1) = −1 < 1 = f(1) f'(0) = 0 czyli C) również pasuje.

ICSP: Wróć bez C). To, ze znajdę jeden taki przykład nie znaczy, ze zawsze tak będzie.

mok3: dziękuję bardzo za odpowiedź a czy w 3 d tez nie powinno byc prawdziwe? nie ma granicy w punkcie x, są granice lewo i prawostronne. i czemu w 1a IV stopnia skoro po najwyzsza potega przy x bedzie rowna 3?

ICSP: lim_{x → 0} |x| = 0. Ta funkcja jest ciągła i granica w zerze jak najbardziej istnieje. Skoro stopień pochodnej jest równy 3 to stopień funkcja jest o jeden większy.

mok3: a faktycznie dziekuje, nie zwrocilam uwagi na to ze pochodna ma stopien mniej. hmmm, tylko mam zanotowane w zeszycie cos takiego badanie istnienia pochodnej w punkcie x₀=0

	f(x0 + h) − f(x)		|x0 + h| − |x|		|h|
limh → 0		= limh → 0		= limh → 0
	h		h		h

	|h|		−h
limh → 0−		= limh → 0−		= −1
	h		h

	|h|		h
limh → 0+		= limh → 0+		= 1
	h		h

	|h|		|h|		|h|
limh → 0−		≠ limh → 0+		⇒ nie istnieje limh → 0
	h		h		h

⇒ nie istnieje pochodna f(x) w punkcie x_o = 0 i że warunkiem koniecznym do istnienia ekstremum jest to że funkcja ma pochodną w punkcie xo,

ICSP: Ten warunek działa tylko gdy pochodna istnieje. To, że pochodna nie istnieje wcale nie wyklucza istnienia ekstremum w danym punkcie.

mok3: ok rozumiem gdyby ktos sie zastanawial, 3 strona −> http://www.math.uni.lodz.pl/~wiertelak/12ekstrema.pdf