CIĄGI *ZADANIE Z GWIAZDKĄ* bluee: Dana jest funkcja f określona wzorem

	x+4		x+4		x+4
f(x)=		+(		)2+(		)3+...
	x−1		x−1		x−1

	1
Uzasadnij, że zbiór wartości funkcji f jest przedziałem (−		,∞).
	2

Skorzystałam z wzoru na sumę wyrazów szeregu geometrycznego:

	a1
S=
	1−q

W tym przypadku

	x+4
a1=q=
	x−1

czyli

	x+4
S=		co daje S∊R.
	−5

Co robię źle

ICSP: a czy przy wzorze :

	a1
S =
	1 − q

nie było coś jeszcze napisane ? Na przykład kiedy można go użyć ?

bluee: Gdy |q|<1. Też mi to nie pasowało. Ale sam wzór funkcji sugeruje, że chodzi o sumę wyrazów ciągu nieskończonego, a nie znam innego wzoru na sumę takiego ciągu. Jestem na poziomie liceum.

ICSP: czyli mówiąc krótko: Najważniejsze założenie co do ciągu geometrycznego pominąłeś i uznałeś za nieistotne.

	1		x + 4
S = −		(x + 4), ale tylko gdy |		| < 1 .
	5		x − 1

bluee: Nie, nic nie pominęłam. Po prostu to był mój pierwszy konspekt na to zadanie, po chwili zorientowałam się, co zrobiłam nie tak. Ale nie mam innego pomysłu na to zadanie. Dlatego dodałam je tutaj, szukając jakiś wskazówek.

Blee: zrobiłaś dobrze, pomijając fakt, że nie napisałaś założenia |q| < 1

bluee: To już wiem. Pytanie jak zrobić to zadanie dobrze?

jc: S=t+t²+t³+... = t/(1−t)=1/(1−t) − 1 , t ∊(−1,1) S rośnie dla t ∊(−1,1), S jest większe od wartości wyrażenia dla t=−1, a więc S > −1/2. Powinnaś sprawdzić jeszcze, czy dla każdego t∊(−1,1) równanie (x+4)(x−1)=t ma rozwiązanie ze względu na x.

jc: ... równanie (x+4)/(x−1)=t ma rozwiązanie ...

bluee: A co się dzieje dla t∌(−1,1)?

jc: Szereg jest nie jest zbieżny.