styczna do wykresu Szymon: Prosta o równaniu y=2x+k jest styczna do wykresu funkcji f(x)=^{x2 − 1}_x jeśli k jest równe A. k=−2 lub k=2 B. k=1 lub k=−1 C tylko dla k=2 D tylko dla k=−1

Bogdan:

	2x2 − x2 + 1		x2 + 1
y = 2x + k, a = 2, f'(x) =		=		, x≠0
	x2		x2

	x2+1
f'(x)=2 ⇒		= 2 ⇒ x = −1 i y = f(−1) = 0 lub x = 1 i y = f(1) = 0
	x2

Dla (−1, 0): 0 = −2 + k ⇒ k = 2 Dla (1, 0): 0 = 2 + k ⇒ k = −2

Jack: Policzmy pochodną funkcji f(x) :

	2x*x − 1*(x2−1)		2x2−x2 + 1		x2+1		1
f'(x) =		=		=		= 1+
	x2		x2		x2		x2

jeżeli prosta y=ax+b jest styczna w punkcie x₀ do funkcji f(x) to f'(x₀) = a, zatem a=2 bo y=2x+k f'(x₀) = 2

	1
2 = 1+
	x02

1
	= 1
x02

x₀² = 1 x₀ = 1 lub x₀ = −1 natomiast wartość funkcji w punkcie x₀:

	x02−1
y0 czyli f(x0) =
	x0

stąd nasza prosta ma równanie (korzystam ze wzoru y=a(x−x₀)+y₀):

	x02−1
y = 2*(x−x0) +
	x0

podstawiając x₀ = − 1: y = 2(x+1) + 0 = 2x + 2 natomiast dla x₀ = 1: y = 2(x−1) + 0 = 2x − 2 zatem k = −2 lub k = 2 odp. A

piotr: f'(x) = 2−(−1+x²)/x² 2−(−1+x²)/x²=2 ⇒ x =−1 ∨ x=1 f(−1)=0, f(1)=0 y=2x+k 0 = 2*(−1)+k ∨ 0 = 2*(1)+k ⇒ k=2 lub k=−2