CIĄGI *ZADANIA Z GWIAZDKĄ* bluee: ZAD. 1 Ciąg (a_n) określony wzorem rekurencyjnym

	1
a1=
	2

a_n−a_n−1=n−1

	n(n−1)		1
dla dowolnego n≥2. Wykaż, że an=		+		dla n∊N+.
	2		2

ZAD. 2 ZAD. 3 ZAD. 4 ZAD. 5

ford: a_n−a_n−1 = n−1 dla n≥2 zauważmy że a₂−a₁ = 1 a₃−a₂ = 2 a₄−a₃ = 3 a₅−a₄ = 4 a₆−a₅ = 5 ... a_n−a_n−1 = n−1 dodając to stronami mamy (a₂−a₁)+(a₃−a₂)+(a₄−a₃)+(a₅−a₄)+(a₆−a₅)+...+(a_n−a_n−1) = 1+2+3+4+5+...+(n−1) −a₁+a_n = 1+2+3+4+5+...+(n−1) prawa strona to suma (n−1) wyrazów ciągu arytmetycznego b_n gdzie b₁=1, r=1, b_n−1=n−1 −a₁+a_n = S_n−1

	b1+bn−1
−a1+an =		*(n−1)
	2

	1+n−1
−a1+an =		*(n−1)
	2

	1		n
−		+an =		*(n−1)
	2		2

	n(n−1)		1
an =		+
	2		2

bluee: Dzięki za pomoc