CIĄGI *ZADANIE Z GWIAZDKĄ* bluee: Ciąg (a_n) określony jest wzorem rekurencyjnym: a₁=1 a_n+1=4a_n+6 Uzasadnij, że ciąg (b_n)=a_n+2 przy n∊N₊ jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz wzór ogólny ciągu (b_n).

Jerzy: a₁ = 1 a₂ = 10 a₃ = 46 a₄ = 190 b₁ = 3 b₂ = 12 b₃ = 48 b₄ = 192 b_n = 3*4^{n −1}

bluee: A da się to jakość rozpisać wzorem ?

ford: widać, że ciąg (a_n) ma same wyrazy dodatnie, stąd a_n>0 dla n∊N₊

	bn+1
udowodnię, że wyrażenie		} jest stałe
	bn

bn+1		an+1+2		4an+6+2		4an+8
	} =		=		=		=
bn		an+2		an+2		an+2

	4(an+2)
		= 4
	an+2

zatem (b_n) to ciąg geometryczny i q=4 a₁₊₁=4a₁+6 a₂=4*6=10 b₁=a₁+2=1+2=3 b_n=b₁*qⁿ⁻¹ b_n=3*4ⁿ⁻¹

bluee: Dzięki