algebraLiniowa algebraLiniowa: Profesor podał na wykładzie, że L{(1,0),(0,1} = R², możecie mi to wytłumaczyć? −− L(X) to przestrzeń generowana przez układ wektorów X (inaczej Lin(X) i Span(X)).

Pytający: To znaczy, że każdy wektor v∊ℛ² można przedstawić jako kombinację liniową wektorów (1,0) i (0,1). v=(x,y)=x*(1,0)+y*(0,1)

algebraLiniowa: Ok rozumiem, a jak miałbym to sprawdzić dla (1,2),(2,3) zamiast dla (1,0),(0,1)? Wykładowca powiedział tylko, że trzeba to zrobić Gaussem, ale nie pokazał jak

Pytający: Wystarczy pokazać, że te 2 wektory są liniowo niezależne, wtedy generują ℛ². A to możesz

	1 2 2 3
pokazać licząc wyznacznik macierzy		. Jest on różny od zera, więc wektory są

niezależne.

algebraLiniowa: Metoda z wyznacznikiem znacznie ułatwia − jest na nią jakaś nazwa? Chciałbym poczytać o tym w necie, ale nie wiem jak to znaleźć.

PW: To skrót myślowy − masz pokazać, że dla dowolnego wektora (a,b) równanie x(1,2)+y(2,3)=(a,b) ma rozwiązanie.

	⎧	1x+2y=a
	⎩	2x+3y=b	,

stąd liczenie wyznacznika:

	1 2 2 3
		≠0

− wyznacznik główny układu równań liniowych jest niezerowy − istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (x,y). Inaczej mówiąc: każdy wektor (a,b)∊ℛ² da się przedstawić jako liniowa kombinacja wektorów (1,2) i (2,3).

algebraLiniowa: Teraz rozumiem, dzięki

algebraLiniowa: Jeszcze jedno pytanie − czy skoro jest tak, że gdy wyznacznik≠0, to wektory są liniowo niezależne, to gdy wyznacznik jest równy 0, to wektory są liniowo zależne?

Adamm: tak

Adamm: wyznacznik jest właśnie po to by sprawdzać liniową zależność wektorów

algebraLiniowa: Dzięki

algebraLiniowa: A co w przypadku gdy będę miał (1,2),(2,3),(3,4)? Bo z tego co mi wiadomo wyznaczniki lizy się tylko z macierzy kwadratowych.

Pytający: 3 wektory należące do ℛ² na pewno nie tworzą układu liniowo niezależnego (układ co najwyżej 2 wektorów należących do ℛ² może być liniowo niezależny, bo wymiar ℛ² to właśnie 2). A jeśli idzie o to, czy te 3 wektory generują ℛ², wystarczy sprawdzić czy dowolne 2 z tych 3 wektorów są niezależne. Jeśli jest taka para wektorów, to te 2 wektory generują ℛ². Dorzucenie trzeciego wektora liniowo od nich zależnego niczego nie zmienia i układ tych 3 wektorów też generuje ℛ² (żeby nie było, piszę "łopatologicznym slangiem" ).

Pytający: "(...) są niezależne. (...)" miało być: "(...) są liniowo niezależne. (...)"