oblicz, potęgi ruzamka: Oblicz −1²+2²−3²+4²−5²+6²+...−2015²+2016²

ruzamka: Bardzo proszę o jakąś pomoc czy podpowiedź

adam: (x+1)²−x²=2x+1

ruzamka: Dzięki <3

Mariusz: a₀=0 a_n=a_n−1+(−1)ⁿ*n² A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ n²=(n+2)(n+1)−3(n+1)+1 ∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞(−1)ⁿn²xⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ=x(∑_n=1^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=0^∞(−1)ⁿn²xⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ=x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+∑_n=0^∞(−1)ⁿn²xⁿ A(x)=xA(x)+∑_n=0^∞(n+2)(n+1)(−1)ⁿxⁿ−∑_n=0^∞−3(n+1)(−1)ⁿxⁿ+∑(−1)ⁿxⁿ

	2		3		1
A(x)(1−x)=		−		+
	(1+x)3		(1+x)2		1+x

d		d	1
	(∑n=0∞(−1)nxn)=
dx		dx	1+x

	−1
∑n=0∞n(−1)nxn−1=
	(1+x)2

	−1
∑n=1∞n(−1)nxn−1=
	(1+x)2

	−1
∑n=0∞(n+1)(−1)n+1xn=
	(1+x)2

	1
∑n=0∞(n+1)(−1)nxn=
	(1+x)2

d2		d2	1
	(∑n=0∞(−1)nxn)=
dx2		dx2	1+x

	(−1)(−2)
∑n=0∞n(n−1)(−1)nxn−2=
	(1+x)3

	2
∑n=2∞n(n−1)(−1)nxn−2=
	(1+x)3

	2
∑n=0∞(n+2)(n+1)(−1)n+2xn=
	(1+x)3

	2
∑n=0∞(n+2)(n+1)(−1)nxn=
	(1+x)3

	2		3		1
A(x)(1−x)=		−		+
	(1+x)3		(1+x)2		1+x

	2−3(1+x)+(1+x)2
A(x)=
	(1+x)3(1−x)

	x2+2x+1−3x−3+2
A(x)=
	(1+x)3(1−x)

	x2−x
A(x)=
	(1+x)3(1−x)

	−x(1−x)
A(x)=
	(1+x)3(1−x)

	−x
A(x)=
	(1+x)3

	−x−1+1
A(x)=
	(1+x)3

	1		1
A(x)=		−
	(1+x)3		(1+x)2

	1
A(x)=∑n=0∞		(n+2)(n+1)(−1)nxn−∑n=0∞(n+1)(−1)nxn
	2

	1
an=		(n+2)(n+1)(−1)n−(n+1)(−1)n
	2

	1
an=		((n+2)(n+1)−(2n+2))(−1)n
	2

	1
an=		(n2+3n+2−2n−2)(−1)n
	2

	1
an=		n(n+1)(−1)n
	2

ruzamka: Jej, tego sposobu to juz nie rozumiem

Mariusz: Twoją sumę można zapisać w postaci rekurencji więc rozwiązałem równanie rekurencyjne zwykłą funkcją tworzącą W pewnym momencie zastosowałem różniczkowanie funkcji tworzącej

ruzamka: nie brałam jeszcze różniczkowania, ale udało mi się rozwiązać pierwszym sposobem