wyrażenia arytmetyczne bluee: Udowodnij, że jeśli dla dowolnych liczb dodatnich x,y,z spełniony jest warunek x²+y²+z²=√3, to x²y²+y²z²+x²z²≥1.

bluee: x²+y²+z²=√3 (x²+y²+z²)²=3 x⁴+y⁴+z⁴+2(x²y²+y²z²+x²z²)=3 Tylko nie wiem co dalej....

ICSP: Podstawiając a = x² , b = y² , c = z² Ponieważ ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² oraz 2[ab + bc + ac] = (a+b+c)² − [a² + b² + c²] to

	(a+b+c)2
ab + bc + ac ≥		= 1
	3

bluee: Nie zauważyłam, że źle przepisałam zadanie powinno być ab + bc + ac≤1 Ale tak czy siak jak można nagle jedną stronę równanie podzielić przez 3, a drugą nie?

ICSP: faktycznie, więc będzie

	(a+b+c)2
ab + bc + ac ≤		= 1
	3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2[ab + bc + ac] = (a+b+c)² − [a² + b² + c²] ≤ (a+b+c)² − (ab + bc + ac).

bluee: Nie rozumiem dlaczego dzielisz (a+b+c)² przez 3. To równanie pod przerywaną linią. To po jego prawej stronie nie powinno być −2 (ab + bc + ac), aby było ono spełnione. A tak w ogóle to nie wiem co chciałeś nim uzasadnić.

ICSP: Może inaczej. Oznaczmy przez (1) równość 2[ab + bc + ac] = (a+b+c)² − [a² + b² + c²] oraz przez (2) nierówność ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² z (1) i (2) wynika, że (patrz przekształcenia pod kreską) 2[ab + bc + ac] ≤ (a+b+c)² − (ab + bc + ac) Skąd już łatwo dostać tezę.

bluee: Dzięki. Teraz już mi wyszło.